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„Die Fusspunkte der von p an ein System confocaler Kegel- 
schnitte gefällten Normalen bilden die Fusspunktcurve dieser Parabel, 
für den angenommenen Punkt als Pol." 
Denn es ist eingangs gezeigt worden, dass die Normalen von p 
an einen Kegelschnitt K die gemeinschaftlichen Tangenten von K und 
17 in den Berührungspunkten auf IT treffen; zu jeder Tangente an IT 
gehört aber ein Kegelschnitt mit den Brennpunkten f x / 2 , der diese 
Gerade berührt, jede Tangente von IT ist also eine gemeinschaftliche 
Tangente für einen gewissen Kegelschnitt. 
Die Construction dieser Curve wollen wir wirklich durchführen, 
weil sie sich sehr vereinfachen lässt. 
Seien (Fig. 2.) f x f 2 die das System der Kegelschnitte bestim- 
menden Brennpunkte und p der Punkt, aus welchem die Normalen 
gefällt werden sollen. Legen wir durch pf x f 2 den Kreis h und be- 
stimmen auf ihm den vierten harmonischen Punkt p in Bezug auf 
fi/21 s0 dieser p f nach früherem der Brennpunkt, der Parabel JI, 
deren Directrix wir in der Verbindungslinie von p mit 0, dem ge- 
meinschaftlichen Mittelpunkte aller Kegelschnitte, erhalten. Ziehen 
wir die Axe p'd und im Halbierungspunkte s dieser Strecke die 
Scheiteltangente S 1 dann erhalten wir in folgender Weise eine be- 
liebige Tangente von 17: wir nehmen einen Punkt x auf D an, und 
beschreiben über xp' als Durchmesser einen Kreis, der S in a und ß 
schneidet, dann sind ax, ßx zwei Tangenten von x. Weil aber der 
Bogen da = ap' ist, so sehen wir, dass ccx und ßx den Winkel p 4 xd 
und seinen Nebenwinkel halbieren. Fälle ich nun das Perpendikel pq, 
so ist q ein Punkt des gesuchten Ortes und zwar liegt er auf dem 
über px als Durchmesser beschriebenen Kreise n. Man sieht nun 
leicht ein, dass der Fusspunkt q 4 auf xß diametral von q auf n liegt, 
ferner dass die Verbindungslinie qq 4 parallel zu xp* ist, weil die 
Winkel $Cq'[ip und ^Cp'xd gleich sind als doppelte der gleichen 
Winkel q'p'P un( i q'%p- 
Daraus geht aber hervor, dass alle Strahlen qq* durch den 
Halbierungspunkt 9 der Strecke pp 4 gehen. Es ergibt sich somit 
folgende höchst einfache Construction : man nehme auf der Directrix 
einen beliebigen Punkt [i an, beschreibe mit pp um [i einen Kreis 
und schneide denselben mit <p[i in q, q v 
Da der Ort der q das Erzeugniss des in p sich berührenden 
Büschels von Kreisen mit dem, wie man leicht erkennt, projectivisch 
darauf bezogenen Strahlenbüschel y ist, so ist er eine Curve dritter 
Ordnung, die in p einen Doppelpunkt hat. 
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