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reelle Punkte geliefert, die rechts sämmtlich imaginäre. Nähert sich 
nun x aus dem Unendlichen dem Punkte p, so liefern nur die Kreise 
rechts von pp 4 reele Punkte der Curve, welche von <p und oo nach p 
verlauft. Die Curve hat in p einen Doppelpunkt und kann auch als 
das Erzeugniss der in p auftretenden Tangenteninvolution und der 
projectivisch darauf bezogenen Parabeltangentenschaar betrachtet 
werden; sie ist dritter Ordnung und mit der früher gefundenen sogar 
identisch, weil die Normalen von p durch die Berührungspunkte der 
gemeinschaftlichen Tangenten gehen müssen, was aber noch später 
deutlicher gezeigt wird. 
Hat man ein System doppelt berührender Kegelschnitte durch 
den gemeinschaftlichen Pol p (Fig. 4.) und Polare P, ferner die auf 
P auftretende gemeinschaftliche Polinvolution durch einen Kreis Zc, 
der durch p geht, gegeben, so kann man leicht zeigen, dass dem 
Punkte p in Bezug auf alle Kegelschnitte des so festgestellten 
Büschels in der bekannten Beziehung die nämliche Parabel II ent- 
spricht; denn irgend eine der möglichen Parabeln muss das recht- 
winklige Paar der Involution conjugirter Polaren inp nach Früherem 
zu Tangenten und den zu p entsprechenden Punkt p\ der durch P 
auf dem Kreise k bestimmten Involution zum Brennpunkt haben; 
somit sind sie alle identisch. 
Sind die Kegelschnitte in anderer Weise gegeben, so kann man 
den Fall bekanntlich auf den ersten Bestimmungsmodus zurückführen 
und ist in dem Vortheile, die Fälle der reellen und imaginären 
Berührung unter Einem behandeln zu können. 
Mit Rücksicht auf das frühere können wir sofort folgende Sätze 
aufstellen : 
„Die Mittelpunkte aller doppelt berührenden Kegelschnitte liegen 
auf einer Geraden, die durch den gemeinschaftlichen Pol geht" ; denn 
wir haben bewiesen, dass die Directrix der Parabel JT durch den 
Mittelpunkt des betreifenden Kegelschnittes gehen muss, also muss 
sie hier alle Mittelpunkte enthalten. 
„Die Axen aller doppelt berührenden Kegelschnitte hüllen eine 
Parabel ein, welche das rechtwinklige Paar der gemeinschaftlichen 
Involution im Pol die Normalen in den gemeinsamen Berührungs- 
punkten, und die gemeinschaftliche Polare zu Tangenten hat und 
deren Brennpunkt p 4 der vierte harmonische zu p in Bezug auf die 
Berührungspunkte auf dem durch die letzteren und p gelegten Kreis ist." 
„Die Fusspunkte der vom gemeinschaftlichen Pol p auf alle 
doppelt berührenden Kegelschnitte gefällten Normalen ist die Fuss- 
