134 
punktcurve dieser Parabel II in Bezug auf den Pol p tl ; man erhält 
sie also, wenn man auf ihrer Directrix irgend einen Punkt [i annimmt, 
mit pp einen Kreis beschreibt, ferner die Strecke pp 4 in <p halbiert, 
und mit pup jenen Kreis schneidet. Sie ist dritter Ordnung, hat p 
zum Doppelpunkt und die Directrix zur Asymptotenrichtung. (Beweis 
wie bei den confocalen Kegelschnitten.) 
Fällt man vom gemeinschaftlichen Pole doppelt berührender 
Kegelschnitte Perpendikel auf die Axen der Kegelschnitte, so ist der 
Ort ihrer Fusspunkte die nämliche Curve, 
Endlich wollen wir uns die Aufgabe stellen, den Ort der Brenn- 
punkte sämmtlicher Kegelschnitte des Systems aufzusuchen und 
werden sehen, dass auch diese, wie alle vorhergehenden, analog 
einer gelösten über confocale Kegelschnitte ist. Sei p der gemein- 
schaftliche Pol, P die gemeinschaftliche Polare, k der die Involution 
auf P definierende Kreis, p 4 der zu p in der letzteren entsprechende 
Punkt, der Brennpunkt von IT. Wir wissen, dass jeder Kreis, welcher 
durch p und ein Paar Brennpunkte geht, auch p 4 enthalten muss, 
und dass die Verbindungslinie der Brennpunkte — die Axe — eine 
Tangente von IT ist. Wir sind aber im Stande zu jeder angenom- 
menen Axe den zugehörigen Kreis zu construiren und so den Ort 
der Brennpunkte als das Erzeugnis des Kreisbüschels pp 4 und der 
Tangentenschaar darzustellen. Wir fällen von p 4 die Senkrechte pq 
auf P und verlängern diese um gleiches Stück bis nach r, dann ist 
pr die Directrix, weil P ebenfalls eine Tangente von IT ist. Oder 
man hat auch nur von o eine Senkrechte auf P zu errichten. Nehmen 
wir auf derselben einen Punkt x an und halbieren den Winkel $Cpxp 4 , 
so können wir die Halbierungslinie xt als die Axe eines gewissen 
Kegelschnittes betrachten. Da der Punkt x der Mittelpunkt dieses 
Kegelschnittes sein muss, so liegt der Mittelpunkt des die Brenn- 
punkte und p enthaltenden Kreises einmal in der Senkrechten in sc, 
das heisst in der anderen Tangente, dann in der senkrechten Hal- 
bierungslinie von pp 4 . Man sieht, dass sich die Construction der 
Berührungspunkte bei den confocalen Kegelschnitten wiederholt, und 
es gelten über die Curve die an jener Stelle gemachten Bemerkungen. 
Interessant ist hiebei, dass man auch die imaginären Brennpunkte 
auf den zweiten Axen durch die entsprechenden Kreise definiert hat. 
Bei diesen Untersuchungen kommt man auf einen einfachen 
Zusammenhang zwischen dem Brennpunkte p 4 der Parabel II und 
dem Brennpunkte tp der einzigen Parabel, die unter den doppelt be- 
rührenden Kegelschnitten auftritt und die durch die Tangenten pb, pb 4 
