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und ihre Berührungspunkte bb 4 bestimmt ist. Es ist nämlich <p der 
Halbierungspunkt der Strecke pp 4 . Denn, legen wir durch pbb 4 den 
Kreis O) (Fig. 5.), so wissen wir, dass p 4 durch bb 4 von p harmo- 
nisch getrennt ist, es liegt somit der Pol von pp' auf bb 4 und die 
Verbindungslinie q'[i halbiert in (p die Strecke pp' senkrecht. Pro- 
jiciert man b y b 4 aus cp nach ß, ß\ so ist: 
arc pß z=z arc p 1 b l und 
arcp l b — arcpß 4 somit auch 
<pbp zu ypb 1 und 
== p&'<p a * s zu gleichen 
Bogen gehörige Peripheriewinkel. 
Stellen wir uns nun vor, dass sich der Winkel ybp so bewegt, 
dass der eine Schenkel stets durch (p geht und der Scheitel auf bp 
gleitet, dann hüllt offenbar der andere Schenkel die Parabel, welche 
bp und pb f zu Tangenten und 6, b r zu Berührungspunkten auf den- 
selben hat; somit ist unsere Behauptung bewiesen. Man kann auch 
umgekehrt verfahren, indem man zu der durch pb, pb 4 als Tangenten 
und 5, b' als Berührungspunkte bestimmten Parabel den Brennpunkt 
bestimmt und zeigt, dass derselbe mit <p zusammenfällt. 
Das soeben gefundene Resultat setzt uns in den Stand, fol- 
gende bemerkenswerthe Sätze aufzustellen; 
„Die nach den Brennpunkten f,f x irgend eines Kegelschnittes 
gehenden Strahlen schliessen mit der Geraden pcp gleiche Winkel ein." 
„Das Produkt der Entfernungen des Punktes <p von den Brenn- 
punkten irgend eines Kegelschnittes des Systems ist constant 
und zwar gleich dem Quadrate von <#p." 
Um den ersten Satz zu beweisen, berücksichtigen wir, dass die 
Tangenten von einem beliebigen Punkte der Ebene, also auch <p, an 
einen Kegelschnittsbüschel, und einen solchen bilden doppeltbe- 
rührende Kegelschnitte, eine Involution bilden. Die Involution im 
Punkte <p muss aber senkrechte Doppelstrahlen haben, weil die Tan- 
genten von <p an die Parabel des Büschels die Doppelstrahlen der 
im Brennpunkte auftretenden rechtwinkligen Strahleninvolution sind, 
und diese nach den imaginären Kreispunkten gehenden Strahlen die 
Doppelstrahlen der Tangenteninvolution harmonisch trennen müssen. 
Man kann dies auch direct in der Figur zeigen. Wir erkennen 
nämlich folgende Paare jener Involution : 
1. (pb, (pb 4 als die Tangenten an die unendlich schmale Ellipse 
bb 4 (den einen zerfallenden Kegelschnitt). 
