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Verbindet man nun die erhaltenen fj x mit y und verlängert 
f x q> nach so ist nach dem bekannten Satz von Sehnen im Kreise : 
A<P X F<P — W 2 ' 
Wegen der Gleichheit der Winkel ist aber F<p ~fy, somit 
f<p .f l(p =5 w 2 i 
also ist der zweite Satz nachgewiesen. 
Es folgt daraus unter anderem die Ähnlichkeit der Dreiecke: 
Awf^ AfA und 
für alle Kegelschnitte des Systems. 
Bevor wir auf die übrigen Consequenzen der soeben gefundenen 
Eigenschaften eingehen, wollen wir zeigen, dass der Ort der Fuss- 
punkte aller Normalen von p auf die doppelt berührenden Kegel- 
schnitte identisch mit dem Orte der Brennpunkte dieser Kegel- 
schnitte ist. (Fig. 6.) 
Da beide Curven durch p und cp gehen, so werden wir offenbar 
zu zeigen haben, dass, wenn bei der ersteren et, b zwei Punkte sind, 
deren Verbindungslinien mit cp gleiche Winkel mit pcp einschliessen, 
das Produkt acp X bcp rz pqp 2 , ferner dass die Strecke ab durch D 
halbiert wird. Auf den Strahlen qpa, cpb kommen noch die Punkte a, ß 
der Curve vor und es lässt sich zunächst zeigen, dass 
acp . bcp čzz acp . ßcp ist. 
Verbinden wir nämlich a mit ß und b mit a, so müssen diese 
Geraden parallel sein. Denn aus dem Dreiecke rn^jp, in welchem der 
Winkel an der Spitze halbiert erscheint, schliessen wir 
ppi píp z= pm : mqp oder 
ß{i : [icp zz am : mqp, 
woraus folgt, dass aß \\ m^i ist. Schreibt man obige Proportion in 
der Form 
[icp — [ip: [ipzz: cpm — mp : mp oder 
cpb:b[i~ cpa: am i 
so sieht man, dass ba |] ist; somit ist auch aß || ab und wir 
können die Proportion schreiben: 
cpb : cpß = cpa : qpa, 
umwandeln wir diese in die Gleichung: 
cpa . cpb zz cpa . qpß, 
welche Gleichung offenbar nothwendige Vorbedingung für die Richtig- 
keit der oben ausgesprochenen Behauptung ist. 
Wir finden weiter nach bekanntem Satz 
cpa , cpa zz cpx . cpp und 
cpb .cpßzzcpy . cpp 
