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f) den Ort der Fusspunkte der von 2? auf die Axen der doppelt 
berührenden Kegelschnitte gefällten Normalen, 
g) den Ort der Fusspunkte der von p auf die Polaren der Ke- 
gelschnitte gefällten Normalen. 
Verwandtschaft zwischen p und p 4 . 
Lassen wir Fig. 7 p eine Gerade G durchlaufen, so werden die 
ihm entsprechenden Parabeln U die von dem Pole g jener Geraden 
auf dieselbe gefällte Senkrechte S sämmtlich zur Taugente haben. 
Nehmen wir nämlich einen beliebigen Punkt p in G an, so geht 
seine Polare P durch g und schneidet G in g\ der von g durch die 
Schnittpunkte von P mit K harmonisch getrennt ist; also ist 8 eine 
Tangente der dem Punkte p entsprechenden Parabel und somit aller. 
Da diese Parabeln sämmtlich die beiden Axen von K und die un- 
endlich ferne Gerade zu Tangenten haben, so bilden sie eine Schaar. 
Der Brennpunkt einer Parabel liegt bekanntlich auf dem durch die 
Schnittpunkte dreier Tangenten gelegten Kreise; somit durchlauft p' 
den durch den Mittelpunkt 0 und die Schnittpunkte von 8 mit den 
beiden Axen gelegten Kreis. 
Man könnte nun auf Grund dieses Resultates zeigen, dass 
zwischen p und p 4 die involutorische Kreisverwandtschaft besteht, 
die die Brennpunkte / und fi des Kegelschnittes zu selbstentspre- 
chenden Punkten hat; wir sehlagen aber folgenden Weg ein. 
Wir haben früher gesehen, dass p 4 auf dem durch pff x gelegten 
Kreise liegt und von p durch ff t harmonisch getrennt ist. 
Projicieren wir die Involution pp* aus dem Mittelpunkte 0, so 
erhalten wir eine Strahleninvolution, welche, wie man leicht gewahr 
wird, die Axen von dem ursprünglichen Kegelschnitte als ein Paar 
enthält. Daraus folgt, dass die Strahlen op, op 4 mit den Axen 
gleiche Winkel einschliessen. Verlängern wir op nach (p A ), so ist 
dieser Punkt symmetrisch zu p 4 in Bezug auf die eine Axe, es ist also 
o(p) =z op 4 . 
Nun findet folgende Gleichheit statt 
op.o(p) = qf 2 
op . op 1 zz of 2 . 
Die Gleichheit der Winkel und Gleichheit des Produktes der 
Strecken sind aber bekanntlich ausreichende Bedingungen für die 
erwähnte Kreisverwandtschaft. Darin entsprechen die Brennpunkte/,/!, 
die Axen, ferner jeder durch ff x gehende Kreis sich selbst, dem 
Mittelpunkte 0 die unendlich ferne Gerade,- jeder Geraden durch 0 
