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Curve, welche die Parallele durch o zur angenommenen Geraden zur 
Assymptote hat. Schneidet die angenommene Gerade G die Strecke^, 
so schneidet der Kreis, den der Punkt p 4 beschreibt, G in zwei reellen 
Punkten 1, 2 und es ist der Halbierungspunkt dieser Strecke der 
Doppelpunkt der Curve. 
In dem Falle aber, dass p einen Durchmesser von ^beschreibt, 
durchlauft der Punkt <p eine Hyperbel, welche mit K confocal ist, 
und deren Asymptoten die von p und p 4 durchlaufenen Geraden sind. 
Denn in diesem Falle ist das Dreieck opp\ weil op . op 4 constant ist, 
von constanter Fläche, somit bleibt die Gerade pp 4 Tangente der 
Hyperbel, die op . op' zu Asymptoten hat ; da aber der Halbierungs- 
punkt von pp' der Hyperbelpunkt selbst ist, so sieht man, dass <p 
diese Hyperbel durchlauft. Kommt hiebei p auf den über ff t be- 
schriebenen Kreis, so ist p 4 der symmetrische in Bezug auf of, pp' 
ist also die Scheiteltangente und somit ff die Brennpunkte. 
Es ist damit auch folgender Satz bewiesen: 
„Die Brennpunkte aller Parabeln, welche auf einer Geraden die- 
selbe Involution erzeugen, deren Pol aber eine Gerade beschreibt, 
die durch den Mittelpunkt der Involution geht, liegen auf einer Hy- 
perbel, welche die Doppelpunkte jener Involution zu Brennpunkten 
und jene Gerade zur Asymptote hat." 
Auch folgendes ist leicht zu erkennen: 
„Durchlauft p einen Kreis, der durch ff x geht, so durchlauft <p 
ebenfalls einen Kreis, der durch ff x und den Mittelpunkt des ursprüng- 
lichen Kreises geht." 
Zieht man nämlich die Tangenten in/ und f t an diesen Kreis, 
so schneiden sie sich in dem Pole der Involution, welche p und 
p 4 auf diesem Kreise bilden; da ferner cp der Halbierungspunkt von 
pp 1 ist, so steht die Verbindungslinie von <p mit dem Mittelpunkte o 1 
des angenommenen Kreises auf pp 1 senkrecht, es ist somit stets 
$C o 1 (pt = 90°, also beschreibt <p den erwähnten Kreis. 
Darin liegt wieder ein leicht zu erkennender Satz über ein 
specielles System von Parabeln. 
Polarfigur der Parabel II. 
Nehmen wir den ursprünglich angenommenen Kegelschnitt K 
als die Basis eines Polarsystems, so wird in demselben der Parabel U 
ein Kegelschnitt entsprechen. Da die Parabel U die Axen von K zu 
Tangenten hatte, diesen aber die unendlich fernen Punkte auf den 
anderen Axen als Pole entsprechen, so ist jener Kegelschnitt eine 
