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fernen Punkte der Hyperbel; den Berührungspunkten 1, 2 auf den 
Axen von K werden also die Tangenten in den unendlich fernen 
Punkten von 17, also die Asymptoten entsprechen. Bestimme ich also 
zu 1 den vierten harmonischen 1' in Bezug auf die Endpunkte AA 4 
der grossen Axe von K und ebenso zu 2 den vierten harmonischen 2' 
in Bezug auf die Scheitel BB 4 der kleinen Axe von K, so gehen durch 
diese Punkte die Asymptoten der Hyperbel, welche jener Parabel 
polar entspricht, und der Mittelpunkt M derselben ist die vierte Ecke 
des Rechteckes 1'02' M. 
Da aber die Punktreihe (1 . , .) perspektivisch der Punktreihe 
(2 . . .) ist, ferner (1 . . .) involutorisch zu (1' . . .) und ebenso (2 . . .) 
involutorisch zu (2'...), so ist auch (1'...) projectivisch zu (2'...)» 
und zwar entsprechen sich in dieser Projectivität die unendlich fernen 
Punkte als die harmonischen von 0. Die Verbindungslinie 1' 2' hüllt 
also eine Parabel ein und der Mittelpunkt M durchlauft die Ver- 
bindungslinie der Berührungspunkte dieser Parabel mit den Axen. 
Man erhält diese Berührungspunkte in folgender Weise: zieht 
man den Strahl c<r, so erhält man als Berührungspunkte a auf der 
grossen Axe und den unendlich fernen auf der kleinen Axe ; der har- 
monische zu diesem ist 0, zu a sei construirt 27, ebenso ziehe man 
cď und construire 27' harmonisch zu 0\ dann sind 27, 2?' die Be- 
rührungspunkte und 2727' der Ort des Mittelpunktes M. 
Man sieht hieraus, dass der Punkt p und der Mittelpunkt M 
der ihm entsprechenden Hyperbel eine Collineation in der Ebene 
bilden und zwar sind die Axen von K und die unendlich ferne Ge- 
rade die selbstentsprechenden Elemente derselben. 
Nimmt man nämlich einen Punkt p auf einer Axe, etwa AA 4 
an, so zerfällt zwar die ihm entsprechende Parabel, aber der Punkt 
p 4 kann leicht gefunden werden als Schnittpunkt des durch pff t 
gehenden Kieises mit jener Axe. Die Senkrechte auf op 4 schneidet 
die Axen in p 4 und dem unendlich fernen Punkte, die harmonischen 
in Bezug auf die Scheitel sind der Pol p der Senkrechten in p é und 
der Mittelpunkt 0 ; wir sind also genöthigt p als Grenze von M zu 
betrachten und es ist also bewiesen, dass die Axen selbstentspre- 
chende Gerade sind. Wenn speciell p in einem Brennpunkte ange- 
nommen wird, so ist der entsprechende Punkt M der vierte harmo- 
nische zu demselben in Bezug auf die Scheitel der grossen Axe. 
Lässt man p mit dem Mittelpunkte von K zusammenfallen, so 
ist der unendlich ferne Punkt der grossen Axe, die Senkrechte 
darin die unendlich ferne Gerade, die Schnittpunkte derselben mit 
