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trachtet, in welchem die Seite BC mit dem Berührungspunkte a für 
I und II, CA für III, XY mit p für IV und V, AB endlich für VI 
gezählt wird. Dann ist offenbar der Schnittpunkt o der Diagonalen 
des Viereckes BCXY der Brian chon'sche Punkt und cco liefert auf xy 
den Berührungspunkt^, ist also ein Durchmesser des Kegelschnittes 
und der Halbierungspunkt von ap ist der gesuchte Mittelpunkt. 
Projiciert man aber p aus A auf BC nach a, so hat man fol- 
gende Proportionen: 
1) aC:pYzz AC : AY, 
2) Ba : <pY =z Bb : bY, 
3) Bb : bY=zBC: XY - AC : AY. 
und somit aus 2 und 3 
4) Ba:pY=AC: AY; 
dann folgt aber aus 1 und 4 
Ba = Ca. 
Halbiert man nun die Strecke aa und zieht durch den Halbie- 
rungspunkt eine Parallele zu aA, so geht diese Gerade durch den 
Mittelpunkt des dem Dreiecke eingeschriebenen Kegelschnittes. 
II. Wir wollen jetzt die Bedingungen ermitteln, unter welchen 
Dreiecke einem Kreise eingeschrieben und einem mit demselben con- 
centrischen Kegelschnitte umschrieben sind. 
Wir schreiben zunächst dem Kreise (Fig. 16) $ ein gleich- 
schenkliges Dreieck xyz und dann das symmetrische p)i ein. Durch 
die Gruppen xyz, $5 ist auf $ eine cubische Involution bestimmt, 
deren Involutionscurve der Kegelschnitt ist, der die sechs Dreieck- 
seiten berührt. 
Aus I. folgt, dass dieser Kegelschnitt K ty, yz in den Halbie- 
rungspunkten A und 21 berührt und dass somit A% eine Axe des 
Kegelschnittes K ist und wir können das Dreieck immer so wählen, 
dass es die grosse Axe wird. Sind weiter g und y die Berührungs- 
punkte auf xy und xz, und macht man z x y = a?£, y x z z=xr], so stehen 
die Verbindungslinien yy } und zž t senkrecht auf den bezüglichen 
Dreieckseiten, weil sie nach I. parallel zu den Verbindungslinien 
des Mittelpunktes O mit den Halbierungspunkten der Sehnen xy, xz 
gehen müssen, und schneiden sich in einem Punkte M der gefundenen- 
Axe. Es müssen sich also auch die Normalen in i] und g in einem 
Punkte dieser Axe schneiden, so dass OM — OWi. Berücksichtigen 
wir, dass die Figur My%z ein Parallelogramm, also MA — A% ist, 
dass ferner x und ein Punktepaar der Involution ist, welche die 
Brennpunkte von K zu Doppelpunkten hat, so können wir schreiben : 
Ox . 0<m = 0$ . OM— a 2 — b 2 = (a + b){a — b). 
