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Um zu erfahren, in wie viel Punkten die Curve eine beliebige 
Gerade G schneidet, gehen wir in folgender Weise vor. Wir nehmen 
Punkte x auf G an, fällen von diesen die Normalen gegen K und 
fragen, wie viel Mal die Verbindungslinie der Fusspunkte durch p 
geht ; so viel Male muss offenbar der Ort von q G schneiden. Nach 
früherem liegen aber die Fusspunkte der von x gefällten Normalen 
auf einer gleichseitigen Hyperbel und alle letzteren constituiren einen 
Büschel, wenn x die Gerade G durchlauft. Jene Fusspunkte bilden 
also eine biquadratische Involution, und ihre Verbindungslinien hüllen 
eine Involutionscurve ein, welche von dritter Classe sein muss '; denn 
nimmt man einen Punkt a an, so sind die anderen bcd der Gruppe 
mit bestimmt und dann sind a&, ac, ad die einzigen Tangenten, 
welche an die Involutionscurve gezogen werden können. Da dies von 
allen Punkten des Kegelschnittes K gilt, so gilt es bekanntlich von 
jedem Punkte der Ebene. Es gehen also auch durch p drei solche 
Tangenten und ihnen entsprechen drei Punkte die auf G fallen. 
Die Curve ist also dritter Ordnung. Es unterliegt keiner Schwierig- 
keit, die Schnittpunkte derselben mit K sowie den Doppelpunkt der- 
selben zu finden. 
Zieht man nämlich durch p eine Normale gegen 2T, und zwar 
für den Punkt so ist ihr zweiter Schnittpunkt m mit K ein Schnitt- 
punkt denn in ihm schneiden sich in der That die Normalen in m 
und n. Ausser den vier Punkten, in welchen die Normalen von p 
K treffen, finden wir die zwei übrigen in den Berührungspunkten der 
Tangenten von p an K. Denn zieht man eine Transversale durch 
welche K in a und b schneidet, und ist q der Schnittpunkt der Nor- 
malen, q 4 der Schnittpunkt der Tangenten in a und 6, so liegen ab qq 4 
auf einem Kreise, übergeht man also zur Grenze, indem die Trans- 
versale Tangente wird, so fallen a, b und q 4 in dem Berührungspunkte 
zusammen, der Kreis degenerirt in den Berührungspunkt, es ist also 
auch q mit dem letzteren zusammengefallen. 
Dadurch sind die sechs Schnittpunkte, welche die Curve dritter 
Ordnung mit K gemein hat, ermittelt. 
Um den Doppelpunkt von ihr zu finden, ziehen wir von p die 
beiden Tangenten an die Parabel, welche cd einhüllt. Sind diese 
reel, schneidet z. B. T ± den Kegelschnitt K in x und y und schneiden 
sich die Normalen von x x und y x in Z>, dann ist D der Doppelpunkt. 
Denn fällt man von D die zwei übrigen Normalen, so muss die Ver- 
bindungslinie ihrer Fusspunkte sc 2 , y 2 eine Transversale von p sein, 
weil x x y y Tangente der Parabel ist. Fasst man aber x x y x als eine 
