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G(xy) = an(F{xy) - a x ) + bF x {xy) II{F{xy) - 6J, 
1=1 1=1 
wo a , á x , a 2 . . . a r , b , & t , b 2 , . . . b s Constante u n d 2*\ (#ý) eine 
bestimmte ganze, rationale Function von a?, y ist, deren 
Dimension kleiner als 3 ist. 
Offenbar ergibt sich aus dem Gleichungssystem 
t] rz F(xy) 
ebenfalls, dass x sowohl wie y rational in | x , y ausdrückbar sind. 
Es ist 
| = aU{ n - a x ) + b^ňin - ty = « + I,/?, 
1=1 1=1 
wo a, ß ganze, rationale Functionen von fj allein sind. 
Eliminirt man x aus den Gleichungen (10), so hat die sich er- 
gebende Kesultante R± die Form 
% = IS + /VI, 2 + /Vli + & + 'Ii 2 + « 2 'Ii + « 3 ')i 
wo ß x \ a v * Constante sind, weil F Y {xy) von einer niedrigeren Dimen- 
sion ist als F{xy)\ die übrigen Grössen sind, allgemein zu reden, 
ganze, rationale Functionen von % Setzt man in 
R í = ť + ßtf + ßj + ß 3 + y(aj* + * 2 | + a 3 ) 
für | den Ausdruck a + ^/J 
ein, so geht R t in Ř L é über und es ist offenbar 
Ri' zz ß z R t , woraus: 
a t = cc^ß ; a 2 = ß(ßa 2 ' — 2«%') ; « 3 == /3(« 3 '/3 2 — aa 2 *ß + «V)- 
Nun ist offenbar *| — v ein Theiler von 
«il 2 + « 2 ! + <v 
Ist also «!^0, was dann und nur dann Statt hat, wenn 
a x 4 ^ 0 ist, so ist 
«ll 2 + « 2 I + = %(l + + "z") . 
wo c^, a 2 " ganze, rationale Functionen von?; sind. (Eventuell 
können diese Functionen, aber nicht alle gleichzeitig, Constante sein.) 
Ist ^' = 0, dagegen V^O, so ist 
= 0 ; cc 2 =: cc 2 'ß 2 ; cc 3 z=. ß\cc 3 'ß — cccc 2 ') , 
Es ist noch auch der Fall möglich, dass 
«! rz 0 , a 2 —0, cc 3 entweder eine ganze, 
rationale Function von rj oder eine von Null verschiedene Constante ist. 
Im letzteren Falle hat das Gleichungssystem (9) die charakte- 
ristische Eigenschaft der linearen Substitutionen, nämlich, dass 
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