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^ 2 = 
= R\ + R\. (12) 
— r x r 4 e ±V 3 « =i? 2 e , (10) 
woraus sich durch beiderseitige Multiplikation ganz ähnlich ergibt 
r\r\ + 2*^ V4 cos (<p v - (p 2 + g> 3 — <jp 4 ) + = (11) 
so erhalten wir aus dem letzten Determinantenprodukte 
E x e , xť 2 e 
— 2ť 2 e , f^ö 
Vergleichen wir nun dieses Ergebnis mit der Formel (5), so 
finden wir unmittelbar, dass 
(rl + rl)(rl+rl) = Rl+Rl. (13) 
Diese Fundamentalrelation hat eine mannigfaltige Bedeutung, 
die von der Wahl der durch Formel (2) und (3) festgesetzten Grössen 
u k und v k abhängt. 
1. Sind diese Zahlgrössen reell, also 
^ = 0,(^=1,2, 3, 4), 
so findet man aus Formel (8) 
^ = (v 3 ±v 4 ) 2 
und ebenso aus Formel (11) 
worauf sich aus der Relation (13) ergibt 
(r\ -f r\) (rj + r\) = (r x r z ± r 2 r 4 ) 2 + (r A r 4 q= r 2 r 8 ) 2 , 
also die schon von Diofantos erwähnte Doppelsumme von zwei 
Quadratzahlen dargestellt durch ein Produkt von Quadratsummen. 
2. Stellen diese Zahlgrössen Gaussische komplexe Zahlen 
vor, ist also 
u k a k + b k i % (k = 1, 2, 3, 4) 
v k — a k — b k i , 
wo i die imaginäre Einheit bezeichnet, welche der einzigen Be- 
dingung 
i - V— 1 (14) 
entspricht, so wird bekanntlich 
die Norm der komplexen Zahl u k bedeuten, worauf auch 
folgt; aus der Formel (6) und (9) ergibt sich für diese neuen Grössen 
A\ = r\r\ cos 2 fo-f .'%) ± 2r 1 r 2 r 3 r 4 cos (<p x -f (p 3 ) cos (<p 2 + y 4 ) 
+ rlrlcos 2 ((p 2 -\-cp 4 ), 
A\ = cos 2 (^i— qp 4 ) =F 2r 1 r 2 r 3 r 4 cos (<p l — qp 4 ) cos (<p 2 — g> 3 ) 
+ *1*B C0S 2 (9 2 ~9 3 ), 
