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B\ =z r\r\ sin 2 (^-f qp 3 ) ± 2r x r 2 r^r 4 sin (g>, + qp 3 ) sin (qp 2 -f qp 4 ) 
zz r^r* sin 2 g> 4 ) + 2^ r a r g r 4 srn ~ qp 4 ) srn (qp 2 — y 3 ) 
+ rjrj sin 2 (?> 2 — 9> 3 ), 
woraus wieder die Formeln (8) und (11) sich zusammensetzen lassen. 
Führt man also diese Quadratsummen statt rl und R k in die 
Relation (13) ein, so erhält man sofort 
(a\ + b\ + a\ + b\)(al + K + a\ + b\) = A] + B\ + A\ + B*, 
also die oben erwähnte Eulersche Formel, betreifend das Produkt 
von vier Quadratzahlen mit vier Quadratzahlen in Form einer Summe 
von vier Quadratzahlen. 
3. Stellen jedoch die Idealzahlen u k , v k Hamiltons Quater- 
nionen*) vor, ist also 
u k zz a k -f b k i t + c k i 2 -f- j 
v k — a k — (b h i x -f - c k i 2 -f- d k i 3 ) , 
wo t n ? 2 , i 3 besondere ideale Einheiten vorstellt, so gilt vor Allem 
ausserdem kann man diese Quaternionen ebenfalls in reducirter Form 
durch 
*) Mit ihrer Hilfe lässt sich der vorangehende Satz ohne Benützung des 
Determinantenproduktes sehr einfach ableiten, wie die folgende, 
leicht begreifliche Schlussfolge zeigt: 
aßzzy, 
aß.K(aß) = y.K(y), 
a.K(u).ß.K(ß)-y.K(y) 
N(<x).N(ß) = N(y), 
wobei a, ß, y Quaternionen sind und N ihre Norm bedeutet, die eine Summe 
von vier Quadraten darstellt. Sieh Hankel „Vorlesungen über die kom- 
plexen Zahlen und ihre Functionen" I. Th. pag. 145. — Dieser Schluss 
behält seine Richtigkeit, wenn a, ß, y Gaussische komplexe Zahlen be- 
deutet, wobei die Norm als Summe von zwei Quadraten auftritt, daher 
hiedurch der Satz des Diofantos bewiesen erscheint. Es ist dann nämlich, 
wenn wir die frühere Symbolik bei Seite lassen, 
dß~(a4- bi) (c -\- di) — ac — bd -}*- i(ad -J- 6c) y , 
K{aß) = (a — bi) (c — di) — ac — bd — i (ad + bc) = K(y), 
Na.Nß= (a 2 -f b 2 ) (c 2 + d 2 ) ZZ (ac — bd) 2 -\- (ad -f bc) 2 = N{y) , 
wie denn überhaupt aus Sätzen der Quaternionenarithmetik durch die Speciali- 
sirung 
h —%— Y— l,i 2 — 0, i 3 — O 
Sätze hervorgehen, welche Gaussens komplexe Zahlen betreffen. 
