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11 sera facile de construire ces points. Mais de plus, on voit 
que si varie, les points y^y^ys appartiennent á l'involution (5), 
associée de (4). 
Nous avons spécialement étudié, dans quelques travaux antérieurs, 
l'involution biquadratique , caractérisée par une quartique et son 
hessien: nous n'y reviendrons pasactuellement. 
Quant á la construction du premiér groupe polaire ďun point 
donné, par rapport ä quatre points donnés, on est conduit ä la ques- 
tion suivante: 
Construire des groupes de quatre points, appar- 
tenant á une I^* définie par ses points quadruples. 
11 faudra, dans ce cas spécial, déterminer le groupe fondamental 
ABCDEF. Soient a, 6, c, d les points quadruples donnés sur C.^.- 
Par les points a et construisons deux coniques suroscula- 
trices á Q*) ; nous obtiendrons ainsi le groupe ABCD^ comme précé- 
d eminent. 11 reste á construire le couple EF. 
Pour cela, il faut, par ABCD^ faire passer des cübiques ayant 
avec un contact du troisieme ordre en c et en d. 
Par les points ABCD et par un point c situé sur Cg, construi- 
sons des cübiques osculatrices á C^. Elles coupent en des points 
appartenant á une involution /^^ La cubique de ce faisceau passant 
par le point/, correspondant á c dans cette involution est suroscula- 
trice ä en c. 
On est donc ramené ä ce probléme. 
Construire une cubique passant par ABCDef et 
osculatrice ä en c. 
Par ABCDef^ faisons passer des cübiques tangentes á en c, 
probléme qui nous avons résolu. Elles déterminent sur une nou- 
velle involution quadratique I^"^: la cubique de ce faisceau, passant 
par le point ^, conjugué á c dans cette involution, est la cubique 
cherchée. 
On n'a plus qu' ä construire une cubique passant par ABCDef g 
et tangente á au point c. Cette cubique coupe en un nouveau 
point e'. 
En faisant varier la position de e, on obtient des couples e e' ; 
e'j, . . . etc. et, en effectuant les mémes constructions pour le point 
cZ, on déterminera, comme nous l'avons fait tantot, le couple EF, 
*) Poncelet, Traité des Propriétés projectives des figures, No. 321. 
