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in der Form 
(9) V =11 Zq) (x -\- iy Cosa -\-izsma) 
oder 
Fzz J^^ {x-\-iycosa^izsma) f(a) da 
wobei sich das Summenzeichen auf die endliche oder unendliche 
Menge von Werthen bezieht, welche a annehmen kann. 
Wenn man nun auch bei allen diesen Lösungen mit der reellen 
und der (im gewöhnlichen Sinne) imaginären Einheit ausreicht, so 
entsteht doch andererseits die Frage, ob man nicht den Lösungen 
jener Difíerentialgleichungen in vielen Fällen dadurch eine geschmei- 
digere Form geben, sie namentlich mit Rücksicht auf Probleme der 
mathematischen Physik dadurch brauchbarer machen könnte, dass 
man zur Darstellung der Grössen a eine grössere Anzahl von auf 
einander nicht zurückführbaren Einheiten verwenden würde. Zu einer 
Untersuchung in dieser Richtung fordert einmal die grosse Brauch- 
barkeit auf, wodurch sich die Lösung (7) der Gleichung (6) gegen- 
über den unsymmetrischen Lösungen der Gleichung (9) auszeichnet, 
dann aber auch die hohe Ausbildung, welche bereits die Theorie 
der aus einer grösseren Anzahl von Einheiten abgeleiteten Grössen, 
namentlich durch Hamilton und Grass mann erhalten hat. 
Hamilton*) scheint sich die Aufgabe gestellt zu haben, die 
von Argand**) begründete, von Gauss, Cauchy und Riemann 
auf eine so hohe Stufe gebrachte Theorie der complexen, durch ebene 
Gebilde darstellbaren Grössen auf Raumgebilde auszudehnen. Aller- 
dings sind die von ihm eingeführten Vektoren- einheiten i, jyh, mittelst 
welcher jeder Quaternion die Form: 
(10) q-^z w -\-ix -{-jy -^kz 
gegeben werden kann, nach Hamilton's Auffassung als reelle geome- 
trische Gebilde von der imaginären Einheit V — 1 wohl zu unter- 
scheiden, mit welchen sie nur den Umstand gemein haben, dass ihr 
Quadrat die negative Einheit gibt. Trotzdem liegen die wichtigsten 
Anwendungen der Quaternionenlehre in der Richtung der Erweiterung 
und Verallgemeinerung für die Ebene schon gewonnener Resultate 
auf Raumgebilde, nur dass es auf diesem Gebiete schwieriger ist, 
die betrachteten Grössen von ihrem geometrischen Bilde abzulösen 
*) Hauptwerk: Elements of Quaternions, 1866. 
R. Argand: Essai sur une maniere de représenter les quantités imagi- 
naires dans les constructions géométriques (1806). 
