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sehen von dieser speciellen Aufgabe, nicht uninteressante Resultate 
ergeben, welche mit in meinen Vortrag verflochten werden mögen. 
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Bekanntlich sind Hamilton's Quaternionen unter anderem da- 
durch charakterisirt, dass die Multiplication derselben aufhört, c o m m u- 
tativ zu sein, d. h. dass es für das Resultat nicht gleichgültig ist, 
in welcher Reihenfolge man die einzelnen Factoren multiplicirt. Natür- 
lich ist diese Eigenschaft der Quaternionen durch die gleiche Eigen- 
schaft der drei Einheiten (unit vectors) i, j, k begründet, aus denen 
jede Quaternion in der Form: 
qziz u ~\- xi -\- yj zk 
abgeleitet werden kann. Es sind nämlich sämmtliche Rechnungs- 
operationen mit Quaternionen durch folgende sechs Grundgleichungen 
zwischen jenen Einheiten bedingt: 
= — 1, f = — l, k'' = — l 
jkzz: — kj z=.i, kl zu — ik zzj, {j zz — ji — k. 
Nun ist aber der Wegfall des commutativen Charakters der 
Multiplication (und aller übrigen, darauf gegründeten, directen und 
inversen Operationen) ein Umstand, der die Rechnung mit Quater- 
nionen ungemein erschwert, und es ist in Folge dessen ein nicht 
geringer Grad von Übung dazu erforderlich, sehr nahe liegenden 
Irrthümern auszuweichen. So ist beispielsweise Hamilton gezwungen, 
für die Operation des Differenzirens eine neue, von der gewöhnlichen 
abweichende Definition zu geben, und die Ausdrücke, welche sich 
bei Anwendung dieser Operation selbst an ziemlich einfachen Fun- 
ctionen ergeben, nehmen eine mitunter sehr complicirte Gestalt an. 
Das Differential der m'«« Potenz einer Quaternion z. B. hat die Gestalt: 
d.q'^zz ^'»^-i .dq-\- q"^-^ .dq.q-\- q"^-^ . dq . q'^ dq . q"^-^ . 
Als eine wesentliche Bedingung des zur Lösung der Laplace- 
schen Gleichung einzuführenden Systems von Einheiten will ich daher 
annehmen : 
Die Multiplication (sammt den von ihr abhängen- 
den Operationen) darf nicht die Eigenschaft der Com- 
mutativität verlieren.*) 
*) Es ist kaum nöthig zu bemerken, dass ich durch Hinweisung auf die 
Schwierigkeiten, welche sich uns beim Aufgeben der Commutativität der 
Multiplication entgegenstellen, die hohe Bedeutung der genialen Schö- 
