85 
III. 
Eine sehr elementare Überlegung führt nun, wenn wir zur Auf- 
suchung eines geeigneten Systems von Einheiten schreiten, zunächst 
zu dem Kesultate, dass es (unter der so eben aufgestellten Bedingung) 
unmöglich ist, bloss drei zweckdienliche Einheiten aufzufinden, dass 
man vielmehr bei Überschreitung der Zweizahl der bisher üblichen 
Einheiten nothwendigerweise sogleich zu einem System von vier 
Einheiten gelangt. 
Denn erstens ist einleuchtend, dass man die reelle und die 
gewöhnliche imaginäre Einheit in jedem System beibehalten muss, 
weil die mit den aus dem System abgeleiteten Grössen vorzuneh- 
menden Operationen zu Grössen führen können, welche aus jenen 
beiden Einheiten abgeleitet sind. Ein System von drei Einheiten 
müsste also neben der reellen Einheit 1 und der imaginären i noch 
eine neue imaginäre Einheit h enthält, und es wären zunächst die 
Produkte hh und hi zu bestimmen, d. h. widerspruchslos als lineare 
Functionen der gewählten drei Einheiten auszudrücken. Wir setzen 
daher ; 
^^^^ ih'=zhiz=:a^-\-h^h-\-c^i 
Multipliciren wir die zweite dieser Gleichungen mit % so er- 
halten wir 
und daher, weil die Einheiten nicht weiter auf einander zurückgeführt 
werden können, 
«1 &i — 0, 6i -f 1 = 0, «1 -{-h^c^zz. 0. 
Die mittlere dieser Gleichungen zeigt, dass nicht alle Coeffi- 
cienten in den Ausdrücken für h"^ und hi als reelle Grössen be- 
pfung Hamilton's durchaas nicht herabsetzen will. Im Gegentbeile 
bin ich fest überzeugt, dass Hamilton inl seinen Quaternionen ein 
Werkzeug mathematisch-physikalischer Forschung geschaffen hat, welches 
zu den schönsten Hoffnungen berechtigt, sobald dessen Gebrauch sich mehr 
wird eingebürgert haben. Ich beabsichtige bloss zu untersuchen, ob es 
nicht möglich wäre, auch unter Aufrechthaltung der Commutativität zu 
einem allgemeineren System von Einheiten, und dadurch auch zu einer 
allgemeineren Lösung der Laplace'schen Differenzialgleichung zu gelangen, 
als mittelst des Systems der gewöhnlichen reellen und imaginären Einheit 
(1 und Y— 1) möglich ist. 
