86 
stimmt werden können. Damit ist aber auch die Unmöglichkeit 
erwiesen, mit bloss drei Einheiten 1, h auszukommen. 
Wir wollen daher jetzt untersuchen, ob es möglich ist, ein 
System von vier Einheiten 1, k (unter i die gewöhnliche imagi- 
näre Einheit verstanden) aufzustellen, in welchem der Multiplication 
die Eigenschaft der Commutativität gewahrt bleibt, und in welchem 
trotzdem alle Operationen zu Ausdrücken führen, welche sich durch 
jene Einheiten linear ausdrücken lassen. Offenbar würde es sich 
zunächst darum handeln, solche lineare Ausdrücke für die Produkte 
/ř^, ^/^, ih^ hk aufzustellen und die Coeificienten in denselben 
widerspruchslos zu bestimmen. Doch wollen wir von dieser allge- 
meinen Untersuchung absehen und sogleich eine allerdings nahe 
liegende *) specielle Annahme machen, indem wir setzen : 
(12) ^2 = — 1, ih=zhi=ih 
Daraus folgt sogleich, dass weiter die Gleichungen gelten: 
(13) Ä;2 = + l, ikzzikiziz — h, hk — khzz — i 
und wir überzeugen uns leicht, dass alle aus ihnen abgeleiteten 
Gleichungen durchwegs widerspruchslos sind, und sich allen direkten 
und indirekten Operationen nach den gewöhnlichen Regeln der Algebra 
durchführen lassen. 
*) Wenn man durch die Annahme einer neuen Einheit h über das System 
(1, i) hinausgeht und sich gezwungen sieht, zu Annahme einer neuen Ein- 
heit fortzuschreiten, weil sich das Produkt hi durch die bisherigen drei 
Einheiten linear nicht darstellen lässt, so ist es offenbar am zweckmässigsten, 
dieses Produkt selbst als die neu einzuführende Einheit zu betrachten, und 
folglich zu setzen: 
Dann ergibt sich sogleich 
und man hat daher nur noch über zu verfügen. Allgemein wäre zu setzen : 
h^z:z.a-\-hh-\- ci. 
Will man nun zunächst die Möglichkeit specieller ganz einfacher Annahmen 
untersuchen, so hat man die Wahl folgender Hypothesen: 
Die zweite dieser Hypothesen führt zu dem ursprünglichen System zweier 
Einheiten (1, i), die dritte zu einem Widerspruch; bloss die erste Annahme 
ergibt das im Texte durch die Gleichungen (11) und (12) definirte System, 
und zwar für beide Zeichen -±1, denn unter der Annahme — -j- 1 ver- 
tauschen bloss die beiden Buchstaben h und k ihre Rollen. 
