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Wir sehen, dass sich die vier Einheiten paarweise anordnen 
lassen: 1 und h repräsentiren die Quadratwurzel aus der positiven, 
h und i die Quadratwurzel aus der negativen reellen Einheit. 
Wir haben daher den Satz : 
Unter den Systemen von vier Einheiten, welche der Multiplica- 
tion den Charakter der Commutativität wahren, gibt es ein besonders 
einfaches System 1, h, welches (bei der gewählten Buchstaben- 
folge) durch folgende Eigenschaften charakterisirt ist. 
a) Die Quadrate der äusseren Glieder geben die positive, die 
Quadrate der inneren Glieder die negative reelle Einheit; 
h) das Produkt der äusseren Glieder gleicht dem Produkt der inneren ; 
c) das Produkt des letzten und eines inneren Gliedes gleicht dem 
übrigbleibenden inneren Gliede mit negativem Vorzeichen. 
Offenbar bildet dieses System eine Erweiterung des gewöhnlichen 
Systems der beiden Einheiten 1 und i\ setzt man nämlich: 
h=:±i 
so wird 
k:=:±l. 
Solange man also die Einheiten h und i als nicht auf einander 
zurückführbar ansieht, sind es auch die Einheiten 1 und k nicht; 
sie fallen jedoch gleichzeitig zusammen, sobald man jene Bedingung 
(welche negativ, also eigentlich eine Erweiterung ist) aufhebt. 
Eine aus dem System (1, ä, ^, k) abgeleitete complexe Grösse 
hat die Form: 
(14) q — u-\-xh-\-yi-\-zk. 
Wegen der Gleichungen (11) und (12) können wir sie auch so 
schreiben : 
(15) qz={u-\'Xh)-{- {y -\-zJi)i = (w + ^/^) + (x-\- zi) h, 
und in dieser, gewissermassen doppelt-complexen Form wird sie iden- 
tisch mit einer Klasse von Quaternionen, deren in Hamilton's 
Elements of Quaternions zwar an einigen Stellen (namentlich 
pag. 275) Erwähnung geschieht, ohne dass jedoch auf ihre Theorie 
näher eingegangen würde. 
Die Vektoreneinheiten ^, j\ fc, aus denen sich die Form (10) 
der Quaternionen ableiten lässt, sind nämlich, wie schon oben be- 
merkt wurde, als reelle geometrische Gebilde von der gewöhnlichen 
imaginären Einheit wohl zu unterscheiden. 
