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Die Coefficienten aj, ?/, z sind dagegen blosse Zahlen, und 
können, unbekümmert um die entsprechende geometrische Bedeutung, 
die Form complexer Zahlen annehmen: 
w:=.w'-\- w" \( — \-=.w -\- w^' h 
die gewöhnliche imaginäre Einheit ist hier (nach Hamilton) durch h 
bezeichnet. 
Die Quaternion q nimmt dann ebenfalls die Form an: 
q=q^ + q- h. 
Einen solchen Ausdruck nennt Hamilton eine B i quater- 
nion.*) Andererseits ergibt sich ein besonders einfacher Fall von 
Quaternionen, wenn man bloss eine von den drei Vektoreneinheiten, 
etwa 1, der Ableitung zu Grunde legt, wenn man also bloss Quater- 
nionen von der Form 
q zzi w ■\-xi 
zu untersuchen hat. Solche Quaternionen lassen sich als ebene, auf 
dieselbe feste Ebene bezügliche Gebilde interpretiren ; so zwar, dass 
auch alle aus ihnen durch algebraische Operationen ableitbaren Grössen 
in derselben Ebene liegende Gebilde darstellen; ausserdem zeichnen 
sie sich dadurch aus, dass für sie die Multiplication den Charakter 
der Commutativität beibehält, dass daher die gewöhnlichen Opera- 
tionen mit solchen Quaternionen nach den in der Algebra üblichen 
Kegeln zu geschehen haben. Solche Quaternionen nennt Hamilton 
complanare Quaternionen.**) 
Wenn man nun in Gebilden dieser Art als Coeificienten com- 
plexe Grössen (im gewöhnlichen Sinne) nimmt, erhält man Ausdrücke 
von der Form (15), und daraus folgt, dass man complexe, aus dem 
System (1, ä, ^, h) abgeleitete Grössen als complanare Biqua- 
ternionen auffassen kann. Dabei sind h und i die gewöhnliche 
imaginäre und die Vektoreneinheit (unit vector), ihr Produkt. 
Da jedoch bei Biquaternionen eine zweckmässige geometrische 
Deutung nicht gut durchführbar ist (indem beispielsweise bei com- 
*) Elements of Quaternions ; B. II, ch. I, sect. 13. 
**) Elements of Quaternions, B. II, ch. I, sect. 4; ausführliche Theorie in 
B. II, ch. II. 
