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planaren Biquaternionen für eine solche ein Raum von vier Dimen- 
sionen nöthig wäre), so ist es besser, die Einheiten ganz abstrakt, 
und dann gewissermasáen paarweise coordinirt aufzufassen, indem 1 
und k zum Quadrat die positive, h und i die negative reelle Einheit 
geben. Für Grössen, welche aus diesen Einheiten abgeleitet werden, 
wäre dann die Benennung: doppelt-complexe Grössen, fast noch 
passender, als die obige Benennung. 
IV. 
Eine Theorie der complanaren Biquaternionen würde sich zu 
einer Erweiterung der Theorie der (gewöhnlichen) complexen Grössen 
in derselben Weise gestalten, wie die zu Grunde liegenden Einheiten 
(1, Ä, k) eine Erweiterung der Einheiten (1, i) bilden. Eine solche 
Theorie zu geben, wird hier nicht beabsichtigt; nur einige besonders 
wichtige Entwickelungen mögen hier ihren Platz finden. 
Früher mag aber noch darauf hingewiesen werden, dass eine 
Gleichung Grades mit complanaren Biquaternionen als Coefficienten 
nicht sondern Wurzeln besitzt. So sind z. B. die Wurzeln von 
a?! = 1, fl?2 = — h ^3^k, — k, 
die Wurzeln von: 
x^ + l=0 
Damit hängt ferner zusammen, dass ein Produkt gleich Null 
werden kann, ohne dass seine einzelnen Factoren es werden. So ist: 
Qi + i) (h — i) = — i2 z= 0 
jedoch weder hzni^ noch h=z — i. j j^-y- 
Auf diese beiden Umstände muss bei Operationen mit compla- 
naren Biquaternionen gehörig Rücksicht genommen werden. 
Zunächst wollen wir die Bedingungen aufsuchen, unter denen 
eine Grösse Q Funktion einer complanaren Biquaternione 
q oáQV u hx -\-iy -\-kz 
ist, man also schreiben kann 
(16) Q zzfCq) =:f(u + hx + iy + kz). 
Differencirt man successive partiell nach w, y, so erhält 
man durch Vergleichung der gewonnenen Resultate jene Bedingungen 
in der Form : 
