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(u -\-hx -\- iy -]-7cz) (u ~\-hx — ty — kz) 
(u — hx~\- iy — kz) (u — hx — iy -\-kz) 
und dabei in der Weise gebildet worden, dass zuerst die Produkte 
der beiden ersten und der beiden letzten Factoren entwickelt wurden. 
Wenn man zuerst die Produkte des ersten und dritten, des zweiten 
und vierten, oder die Produkte des ersten und vierten, des zweiten 
und dritten Factors entwickelt, so erhält man schliesslich zwei neue 
Formen für also folgende gleichbedeutende Ausdrücke:*) 
{u'' + x''+y'' + z''y — 4:(xy — uzy 
(28) =(u''-\-x^ — y'' — zy + á{uy — xzy 
= {u' — a;2 _|_ ^3 _ 252j2 ^ 4 (íí ÍC + 3/ z)\ 
Die vorstehenden Resultate zeigen, dass sich die Rechnung mit 
complanaren Biquaternionen sehr weitläufig gestalten würde, wenn 
man nicht Functionen einführte, welche sich durch besondere Ge- 
schmeidigkeit und Fügsamkeit gegenüber den verschiedensten Opera- 
tionen auszeichnen. Schon in der Theorie der einfach complexen 
Grössen führt man die cyclometrischen Functionen mittelst der Glei- 
chung : 
X -\- Yi zu e'^-^y^ :=z e'" (cosy -\-isiny) 
ein; in ähnlicher Weise werden wir hier neben den cyclometrischen 
noch hyperbolische Functionen mit Vortheil benützen können. 
Setzen wir zu diesem Zwecke : 
(29) U + hX + iY+kZ=ze^-^^^-^iv-\-kz 
und suchen so wie früher t/", X, F, Z als Functionen von x, y, z 
zu bestimmen. 
Wir haben zunächst; 
ßU-{-hx-{-iy-^kg ^ ß(it-\'hx)-{-i(y -{- hz) 
^^uArhoa ^^q^ _|_ ^ 2) -f- XSin {y -[- Äz)]. 
*) Dieses Resultat ist auch insoferne interessant, da es zwei Sätze der Zahlen- 
theorie verbindet. In der Form 
(^2 _|_ ^2 _^ ^2 _|. g2)2 — _|_ ^2 _ ~ «2)2 _|_ ^2 w 3/ 4- 2 4- (2 2/ — • 2 w 2)^ 
oder 
(a) iV2 n: P2 + Q2 + 
geschrieben, beweist es entweder den Satz, dass jede ganze Zahl als 
die Summe von vier Quadraten ganzer Zahlen {u^ + + 2/^ + darstellbar 
ist, vorausgesetzt, dass die Gleichung (a) mit den Unbekannten P, Q, B stets 
in ganzen Zahlen lösbar ist, oder es beweist umgekehrt unter der Voraus- 
setzung jenes Satzes die Lösbarkeit der Gleichung (a). 
