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Da die beiden Einheiten h und i vollkommen coordinirt sind 
was die auf sie bezüglichen Operationen anbelangt, so können wir 
setzen : 
+ — - QU ^cos x-\-h sin x) 
cos (y -{-hz) -=2 cosy Chz — h sin yShz 
sin (y hz) siny Chz-\-h cosy Shz^ 
indem wir den hyperbolischen Cosinus und Sinus*) 
einführen. Nach diesen Substitutionen erhält man schliesslich: 
üz=.e^ (cos xcosy Chz -\- sin x sin y Sh z) 
cosix — ?/) -|- "~ cos (ic -|- ^)] 
JÍ zz e" {sin xcosy Chz — cos x sin y Sh z) 
zz — + ^ sin (x — y) -\- e^-^ sin{x -\-y)] 
(^^) Yzz (cos X sin yChz — sin x cos y Sh z) 
-i- [— e'* sin (x — ?/) -|- sin (x -f- ?/)] 
ZzzLC^ (sin X siny Chz cosxcosy Shz) 
zz [e" + * cos (x — y) — - * cos (x -\- ?/)] . 
Man bemerke ausserdem, dass 
^kx gi« . h (cos2J -|- isinzy ~ coshz isinhis zz Chz-\- kShz 
eine Formel, welche sich als Analogon an 
ď=:Chz + Shz 
anschliesst. Man hätte daher die Ausdrücke (30) auch aus folgender 
Gleichung ableiten können: 
pu4-hx 4- iy -(- kz 
(31) 
^ ^ =6** (cos x-\-h sin x) (cosy -f- i siny) (Ch z -{-kShz) 
Daran schliessen wir noch folgende Betrachtungen. Es ist 
ßkzi^ß—kiii ß—h^\.ßhM 
coshz -zz -^^ zz ^ zz cos 2 
*) Die Bezeichnung dieser Functionen durch Ch und 5A, wie sie schon von 
V. Riccati 1757 eingeführt in manchen Schriften z. B. in Houel's Théorie 
élémentaire des quantités complexes vorkommt, scheint mir die zweck- 
mässigste zu sein, da sie (gegenüber den Bezeichnungen coshyp^ ainhyp, 
Äcf. Sin. und anderen) Kürze und Deutlichkeit vereint. 
