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=. "5-, zu — zz: Zc p-= = jfc sin z. 
2t 2t 2h 
Es ist daher auch: 
cos (q -\- 2 m 7t -\- 2 nk 7t) zu cos q 
sm {q 2 m 7t 2nk7t) zzi sin q 
d. h. die cyclometrischen Functionen doppelt-complexer Grössen sind 
doppelt-periodische Functionen, mit den Perioden 27t und 2^71. 
Ebenso sind wegen: >-. 
p<i-\-2mh'Jt ^ 2ni7C — . 
die Exponential- und die hyperbolischen Functionen doppelt-com- 
plexer Grössen doppelt-periodische Functionen, mit den Perioden 
2h7t und 2Í7t. 
Daher hat die r*^ Wurzel aus einer doppelt- complexen Grösse 
Wurzeln, wie sich unmittelbar aus der Gleichung ergibt: 
(32) YQ = + + + 
— /' x-\-2m7t , - . x + 2m7i\i y+2n7t , . . y-\-2n7ť\ 
= e '* ycos — — [-hsin — ^— j\j:os^-^ [-tstn^-^ J. 
Zum Schlüsse möge noch 
q = logQ 
d. h. mögen w, cc, ?/, z als Functionen von Z7, Z, F, Z bestimmt 
werden. 
Aus den Gleichungen (30) ergibt sich zunächst: 
Z + r = e« - ^ (ic + ?/) , ř/ — Z zu - * cos (a? -f y\ 
X— Yzz: 6'' + '' sin(x--y), U Z z=: ^ cos {x — y). 
Nach einigen einfachen Keductionen erhalten wir schliesslich: 
Analog [(X + YÝ + (Í7- Zf] + log [{X - T)^ + (Í7+ Z^] 
2xz=zarc tang -^2 ^ 
^^^^ „ , 2(rt7+XZ) 
2y=iarc tang ^2 ^ ^2 _ ^2 
4 . = % [(Z+ Yý + (ř7- Z)^] - % [(Z 7)^ + (ř/+-^)1. 
Setzen wir als Definition der hyperbolischen Tangente: 
