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und bezeichnen wir*) die inverse Function m mit 
sect Thz (sectio Thz) 
so können wir auch, in grösserer Übereinstimmung mit der Formel 
für X und y, schreiben: 
2 (UZ XY) 
(ßSa) 2 z = sect Th -^a _j_ ja _|, ^2 _|_ ^2 • 
Man bemerke noch die Formeln: 
e2 « cos 2 ÍC = + — _ z\ e^-sin2x =:2iUX+ YZ) 
(34) e2«cos2?/=ř72— X^ + F^ — e^^sin^y =z2iUYJrX^ 
e^-Ch2zz=:U''+X''-{-Y^ + Z'', e^-Sh2z = 2 (UZ — XY), 
und vergleiche sie mit den Relationen (28). 
Soll eine beliebige Potenz von Q 
Q^—{U+hX+iY+kZr 
in der Form 
Q,= (Un + hXn + iYn + kZ,) 
bestimmt werden, so berechne man zunächst die Hilfsgrössen m, aj, y, 2 
aus (33), und hat dann mit Rücksicht auf (29) und (30) unmittelbar: 
Un = e"" (cos nx cos ny Ch nz ~\- sin nx sin ny Sh nz) 
Xn =: e"" (sin nx cos ny Ch nz — cos nx sin ny Sh nz) 
^ ^ Yn'=: e"" (cos nx sin ny Ch nz — sin nx cos ny Sh nz) 
Zn zu e**" (sin nx sin ny Ch nz + cos nx cos ny Sh nz). 
Doch es ist nicht meine Absicht, auf die Fülle von Beziehungen 
und Formeln, die sich auf dem hier eingeschlagenen Wege ergeben, 
weitläufiger einzugehen, und ich wende mich nun zur Lösung der 
Gleichung (8) mittelst complanarer Biquaternionen. 
VI. 
Um die Gleichung 
dx^ D?/2 + dz^ ""^ 
durch einen Ausdruck von der Form 
V=F(ccyX + cc^y-^^a^ z) 
zu lösen, müssen die Grössen a^, «2, «3 so bestimmt werden, dass 
sie der Gleichung 
genügen. Setzen wir 
(36) a„ zz a„ -|- 6„ä + c„i + dnk 
*) S. Bertrand, Traité du calcul intégral, p. 14. 
