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Da ferner die erste Verticalreihe in (53) 
— 2 s sin n^ — O^ %^0^ mQZ=:2$ cos a 
liefert, so nimmt die Gleichung (50) schliesslich folgende Form an: 
(56) (x^sy + (zcosa-ysinay ^Qcotq''a = C^ 
^ ^ {x-\-s)'^-^{zcosa-{-y sina)'^ ^ 
Man sieht wie die letzte unbestimmt gebliebene Grösse a aus 
dem Resultate herausfällt, indem sie in die neue Constante eingeht. 
Die Bedeutung der Gleichung (56) ist sehr einfach. Der Zähler 
des links stehenden Ausdruckes bedeutet nämlich die Entfernung des 
Punktes (cc, y, z) von der Geraden J., der Nenner die Entfernung 
desselben Punktes von der Geraden B, Die Gleichung (56) stellt 
daher den geometrischen Ort jener Punkte dar, deren Entfernungen 
von A und B das constante Verhältniss C haben. Dieser Ort ist be- 
kanntlich*) ein einfaches Hyperboloid, dessen Lage und metrische 
Beziehungen wesentlich von dem Werthe C abhängen. Für G:=zO 
wird das Hyperboloid zur Geraden für (7— oo zur Geraden B^ 
für C = 1 wird dasselbe zum gleichseitigen hyperbolischen Paraboloid, 
dessen Gleichung 
yz sin a cos a xs zz 0 
lautet. 
Wenn sich die beiden Geraden A und B schneiden, wenn also 
s — 0 wird, so werden die Hyperboloide im Allgemeinen zu elliptischen 
Kegeln, das hyperbolische Paraboloid zu den beiden Ebenen 
y-0, z=lO. 
Wenn die beiden Geraden A und B parallel sind, d. h. wenn 
6 -=2 0 oder a = 90® wird, parallel der Y oder Z-axe, so werden die 
Hyperboloide zu Kreiscylindern, das hyperbolische Paraboloid zu einer 
Ebene, deren Gleichung 
x-=zO 
ist Die diesem Falle zu Grunde liegende allgemeine Gleichung 
ix + sY^y^-'' 
wurde von Lamé in seinen Legons sur les coordonnées curvilignes 
(Xn legon: Systeme cylindrique bi-circulaire) einer eingehenden 
Discussion unterworfen, und die Anwendbarkeit des auf diese Glei- 
*=) Siehe z. B. : 0. S chlö milch, Analytische Geometrie des Raumes, §. 39, Aufg. 2. 
