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des Art. 8 erhält man 
P' = oo; P -F —A, oder F-A-\-^.f 
P =00; V'z=:F — A\ F'=lA'+^ ,f 
E 
b 
E=:A^{l^^)f=:F-f 
V^zzzE'~-A' E^ — A' ^ 
K 
b 
nb 
f- 2/ __ »»' 
Als weitere bemerkenswerthe Punkte wollen wir noch die von 
Listing zuerst hervorgehobenen symp totischen Punkte S an- 
führen, wodurch die in der Achse gelegenen Punkte bezeichnet werden, 
die mit ihren conjugirten zusammenfallen. 
Zur Ermittelung ihrer Lage haben wir somit die Beziehungen 
Sz=:V + Az=zV^ -\^A' 
P -r p/ — 1 
und ersehen hieraus, dass im Allgemeinen für irgend ein dioptrisches 
System zwei verschiedene (jedoch nicht immer reelle) symptotische 
Punkte existiren, die in besonderen Fällen in einen einzigen Punkt 
zusammenfallen können. 
11. Um die Lage der Fundamentalpunkte direct aus den Bestim- 
mungselementen r, d. h. ohne Vermittelung der Hülfsebenen 
A^ A* darzustellen, sind in den Formeln {d) und {e) die Grössen A* und 
6' als Funktionen von A und b einzuführen. Wir betrachten in dieser 
Weise vorerst den Fall der Ermittelung der Fundamentalpunkte eines 
Systems, das aus zwei Partialsystemen von bekannten Fundamental- 
punkten zusammengesetzt ist. Durch Wiederholung dieser Aufgabe 
könnte man sodann die Fundamentalpunkte irgend eines Systems er- 
mitteln, wenn man dieses so oft zerlegen würde, bis man auf Partial- 
systeme von bekannten Fundamentalpunkten käme. 
Sind F^ i^i' und F^ F^' die Brennpunkte, E^, E^' und E^, E^' 
die Hauptpunkte, somit f^:=zF^~, E^^ f^'z:i:Fy'~E^' und /j = F^ 
