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III. 
Vertauschen wir den gemein- 
schaftlichen Punkt s mit einem 
beliebigen, aber jedesmal einem 
anderen Eckpunkte des weckes; 
dann bezeichnen wir durch das 
Symbol (aBCd) das Verhältniss 
jenes Punktes, in dem die Kante 
ad geschnitten wird von der Ebene, 
welche durch den gemeinschaft- 
lichen Punkt p und die Eckpunkte 
b, c geht 
Dasselbe gilt auch für die übrigen Verhältnisse. 
Den Werth jedes solchen Verhältnisses erhalten wir direct aus 
der Gleichung (Z), d, h. 
Denn, wollen wir, dass in der Determinante des Nenners die 
Indexen in derselben Ordnung vorkommen wie im Symbole des Ver- 
hältnisses, dann müssen zwei Colonnen vertauscht werden, wodurch 
das Zeichen der Determinante nicht geändert wird, und daher das 
Verhältniss sein Zeichen behält. 
Bilden wir wieder eine beliebige Gruppe von Buchstaben aller 
Eckpunkte (Flächen). Aus dieser Gruppe bilden wir drei neue 
also. Die erste Gruppe erhalten wir, indem wir den zweiten und 
dritten, den fünften und sechsten etc. Buchstaben in entsprechende 
grosse verwandeln, wobei der erste, vierte, siebente etc. Buchstabe 
unverändert bleibt. Die zweite Gruppe wird gebildet, wenn wir den 
ersten Buchstaben in den entsprechenden grossen verwandeln und 
erst vom zweiten Buchstaben an die regelmässige Verwandlung der 
Buchstaben, wie sie bei der Bildung der ersten Gruppe geschah, 
vornehmen. Bei der Bildung der 3. Gruppe verwandeln wir den 
ersten und zweiten Buchstaben in den entsprechenden grossen und 
die weitere Entwickelung der Gruppe geschieht in derselben Art wie 
bei der ersten Gruppe. 
Damit diese Gruppen die Bedeutung des Productes von Ver- 
hältnissen hätten, muss man sie folgendermassen regeln. 
1. Ist n = 3m, so schreiben wir an das Ende der ersten Gruppe 
noch den ersten Buchstaben derselben zu ; dagegen setzen wir bei 
Vertauschen wir die gemein- 
schaftliche Ebene s mit einer be- 
liebigen, aber jedesmal einer an- 
deren Seite des nseites; dann 
bezeichnen wir durch das Symbol 
(aBCd) das Verhältniss jener Ebe- 
ne, die durch die Kante ad und 
den Punkt geht, welcher in der 
gemeinschaftlichen Ebene p und 
den Seiten b, c liegt. 
