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.ec plus de puissance et doivent produire 
îus que les anciennes sociéte's, dont l'ho- 
-■,on ne dépasse pas les limites d'an ar- 
. ndissement ou d'un département. 
Ainsi, Messieurs, c'est un fait incontes- 
■ble aujourd'liui que la vie inteliectueile, 
itrefois concentrée à Paris, et dans quel- 
les villes privilégiées se répand et circule 
ôrement dans toutes les parties de la 
;'ance : on peut dire même que cette vie 
t plus forte, plus iridépendante en pro- 
, nce, parce que ià l'étude n'est ]"as un 
oyen de parvenir et qu'on n'y fait point 
-;la science par spéculation. 
K A Paris où tout le monde se presse, l'in- 
Kbue, se supplante, la plupart fauchent le 
Ré en vert, impatients qu'ils sont d'at- 
rndre le temps d'en moissonner les épis : 
1 province on étudie avec plus de pa- 
ence, de sagesse et de maturité... 
La onzième session du Congrès scienti- 
,n[ue de France a de nouveau révélé com- 
en la province est riche en hommes 
jiinents ; vous avez témoigné par vos 
pplaudissements le plaisir que vous ont 
iiit éprouver les orateurs qui sont venus 
: cette tribune vous soumetlre de vive voix 
:u par écrit, le résultat de leurs médita- 
/Ons sur les problèmes que vous aviez mis 
' l'étude. Les objets traités dans vos séan- 
es, et le talent qui les a développés, ont 
ixcité un mouvement d'attention et d'in- 
érêt qui ne s'est pas aflàibli un seul in- 
tan t. 
Ainsi, Messieurs, sous tous les rapports, 
3 Congrès d'Angers a répondu à l'espoir 
•[ue le monde savant en avait conçu; toutes 
es sections ont également produit des tia- 
I aux utiles et remarquables, toutes ont mis 
I profit le temps qui leurs a été accordé , 
t chacune, selon sa spécialité, vous a pré- 
senté datis sou compte rentiu quotidien la 
)reuve qu'un grand nombre de lectures et 
le communications ont été faites à tous 
ros bureaux. 
D'imposantes solennités sont venus d'ail- 
eurs signaler la onzième session du Con- 
;Tès : Finauguration de la sfatue du bon 
oi René d'Anjou nous a vivement émus. 
>tte belle cérémonie, dans laquelle M. de 
aSicotièrea été notre éloquent interprète, 
J donné à cette session un double carac- 
tère, Science et Pairioiisvie : deux choses 
qui doivent toujours être unies et qu'au- 
cun de nous ne saurait comprendre sépa- 
rées . » 
SCiENCES PHYSIQUES. 
CALCUL DIFFÉnEi^TIEL, 
i , , 
Mémoire sur l'analyse înfinilésimale; par 
M. Augustin Cauchy. 
Les géomètres ont accueilli avec bien- 
veillance la méthode que j'ai suivie pour 
l'exposition de l'analyse infinitésimale , et 
que j'ai développée, non-seulement dans 
mou Calcul dijfèrenliel, mais aussi dans un 
^ îiiémoire S u i melodi analitici que renferme 
' le recueil publié à Milan et intitulé Bihlio- 
j theca itaVana. Toutefois, il m'a sen blé 
j qu'on simplifierait encore ceite exposition 
j en donnant à la méthode elle-même un 
j nouveau degré de précision et de clarté, 
si, à la définition que j'ai adoptée pour les 
différentielles en général, on joignait la 
considération d'une variable dont la diffé- 
rentielle se réduirait à l'unité. Il ne sera 
, pas inutile d'entrer à cet égard dans qutl- 
j quel détaris. 
608 
Lorsque des variables sont liée5 entre 
elles par une ou plusieurs équations, alors, 
en vertu de ces équations mêmi s, quel- 
ques unes de ces variables deviennent fonc- 
tions des autres considérées comme indé- 
pendantes. Alors aussi des accroissements 
simultanément attribués aux diverses va- 
riables se trouvent liés entre eux et à ces 
variables par des équations nouvelles qui se 
déduisent immédiatement des équations 
données. Ajoutons que si, les accroisse- 
ments des variables étant supposés infini- 
ment petits, on néglige vis-à-vis de ceux-ci 
coQsidérés comme infiniment petits du pre- 
mier ordre, les infiniment petits des ordres 
supéi ieurs au premier, les nouvelles équa- 
tions deviendront linéaires par rapport aux 
accroissements dont il s'agif. Leibnitz et les 
premiers géomètrea qui se sont occupés de 
l'analyse infinitésimale ont appelé différen- 
tielles des variables leurs accroissements 
infiniment petits , et ils ont donné le nom 
équations différentielles aux équations li- 
néairesqui subsistententre ces différentiel 
les. Cette définition des différentielles et 
des équations différentielles a le grand 
avantage d'être très générale et de s'éten- 
dre à tous les cas possibles. Toutefois, pour 
ceux qui l'adoptent, les équations dlff ren- 
tielles ne deviennent exactes que dans le 
cas où les différentielles s'évanouissent, 
c'esi-à-dire dans le cas où ces équations 
même disparaissent. A la vérité, l'inconvé- 
nient que nous venons de rappeler n'a 
point ai'rêté Euler ; et ce grand géomètre, 
tirant la conséquence rigoureuse des prin- 
cipes généralement admis, a considéré les 
di^'iérentielles connue de véritables zéros 
qui ont entre eux des rapports finis. Mais 
d'autres géomètres non moins illustres, et 
Lagrange, à leur tête , n'ont pu se résou- 
dre à introduire dans un même calcul plu- 
sieurs sortes de zéi-os distincts les uns des 
autres, et c'est pour ce motif qu'à la no- 
tion de? différentielles Lagrange a songé à 
substituer la notion des fonctions déj'ivées, 
sur laquelle il sera convenable de nous ar- 
rêter queUjues instants. 
Examinons en particulier le cas où l'on 
considère une seule variable indépendante 
et une seule fonction de cette variable. Si 
l'on attribue à cette variable un accrois,se- 
ment infiniment petit, l'accroissement cor- 
respondant de la fonction se trouvera lié à 
la variable et à l'accroissement de la varia- 
ble par une équation, qui deviendra li- 
néaire à l'égard des deux accroissements, 
quand on négligera les infinin^ent petits du 
second ordre ou d'un ordre supéri' ur vis- 
a-vis des infiniment petits du premier or- 
dre. Or, l'équation linéaire ainsi obtenue 
fournira, poi.r le rapport entre les accrois- 
sements infiniment petits de la fonction 
donnée et de la variable, une fonction nou- 
velle. Cette fonction nouvelle est précisé- 
ment celle que Lagrange appelle la fonc- 
tion dérivée (1). Elle représente, en réalité, 
la limite de rapport entre les accroisse- 
ments infiniment petits et simultanés de la 
fonction et delà variable. Mais, au lieu de 
lui donner cette origine, Lagrange l'a con- 
(!) La métiiode de maximis et minimis, donnée 
par Fermai, peut êlre réduite à la icclierche. du 
rapport qu'on obtient, quand on divise, par un ac- 
croissement indélermiué atlribué à "une variable, 
l'accroisiement correspondant de la fonclion qui 
doit devenir un maximum ou un minimum ; et à la 
déterminalion de la valeui' parliculière qu'acquiert 
ce rapport quand l'accroissement de !a variable s'é- 
vanouit. Or, celte valeur partiiulière, comn.e La- 
grange eu a fait la remarque, est encore la fonction 
dérivée. 
609 
sidérée comme représentanï le coefficient 
de l'accroissement de la variable dans le 
premier terme de l'accroissement de la 
fonction développée en une série ordonnée 
suivant les puissances ascendantes de l'ac- 
croissement de la variable. 
Dans le cas où l'on considère un déve- 
loppemeat en série, abstraction faite du 
système d'opérations qui a pu produire ce 
développement, le seul moyen de savoir si 
le développement dont il s'agit appartient 
à une f ,nrtion donnée , est d'exaiuifter si 
cette fonction équivaut à la somme de la 
série supposée convergente. Par suite, pour 
établir sur des bases î-igoureuses la théo- 
rie des fonctions dérivées, telle que La- 
grange l'a conçue, il faudrait commencer 
par faire voir que raccroissement d'i-ne 
fonction quelconque est sinon dans t^us 
les cas possibles, du moins sous certaines 
conditions, là somme, d'um^ série conver- 
gente ordonnée suivant les puissances as- 
cendantes del'ficcroissenient de la variable. 
Or la démonstr.i'ion générale d'un sembla- 
ble théorème ne peut se donner à priori , 
et repose nécessairement , même dans le 
cas où les accroissements deviennent infi- 
niment petits, sur diverses propositions an- 
técédentes; d'où il résulte que ce théorème 
doit êt.-e naturellement considéré , non 
conuîie le principe et la base du calcul dif- 
férentiel, mais comiïie un des résultats 
auxquels conduisent les applications de ce 
calco!. Aussi les difficultés que l'on ren- 
contre , quand on veut déduire la notion 
des fonctions dérivées de la considération 
d'une série composée d'un nombre infini 
de termes, se trouvent elles à peine dissi- 
mulées par toutes k s ressources qu'a déve- 
loppées le génie de Lagranfje dans le pre- 
mier chapitre de la Théorie des fonctions 
analytiques. 
On échajipe aux difficultés que nous ve- 
nons de signaler, quand on considère une 
fonclion dérii'ée comme la limite du rap- 
port entre Us accroissements infi'iiment pe- 
tits et simultanés de la fonction donnée et 
de la variable dont elle dépend. En adoptant 
cette définition, on pourr ait, avec quelques 
auteurs, nommer diffèrenlielle de la varia- 
ble im le pendante l'accroissement de eelte 
variable, et diffèrenlielle de la fonction 
donnée le produit de la îonction dérivée 
par la différentielle de la variable. On 
pourrait enfin, lorsqu une même cpiantité 
dcnenel de plusieurs variables, nommer 
différentielle totale de cette quantité la 
somme des differcntieiies qu'on obtieudrait 
en la considéra.. l successivement comme 
fonction de chacune des variables dont il 
s'agit. Mais alors le sens du mot différen- 
tielle, loin de se trouver généralement fixé, 
en vertu d'une définition simple applica- 
ble à tous les cas possibles, exigerait, pour 
êlre complètement déterminé, que l'on ex- 
pliquât avec précision quelles sont les va- 
riables regardées comme indépendantes • et 
si, pour fixer les idt'es , en s'occupait isni- 
quement de deux variables liées entre elles 
par une seule équation , non-seulemeot la 
différentielle de la première variable serait 
définie autrement ([ue la différentielle de 
la seconde, mais de plus la défirdtion de 
chaque différentielle varierait lorsqu'on 
changerait la variable iadépenelante, en 
considérant tantôt la seconde variable 
comme fonction de la première , tantôt la 
première comme fonction de la seconde. 
On évitera ces inconvénients, si l'on 
considère les différentielles de deux ou de 
plusieurs variables liées entre elles* par are 
