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ou pluiieurs équations, comme des quanti- 
tés finies dont les rappoi t< sont rigoureuse- 
inent égaux aux limites des rapports entre 
les accroissernents tiifinhnrnt pftiis et simul- 
taixés de ces var/a''lcs. Cette définition nou- 
velle, que j'ai adoptée dans mon Calcul dif- 
férentiel tt dans le mémoire sur les méllio- 
des analytiques, me paraît joindre à l'exac- 
litiule désirable tous les avantagea qu'of- 
frait, sous le rapport de la simplicité et de 
la généralité, la définition primitivement 
admise par Lcibnitz et par les ge'onùtres 
qui l'ont suivi. A la véiité, les dilTérentiel- 
les de plusieurs variables ne se trouvent 
pas comple'tcment déterminées par la dé- 
finition nouvelle; et cette définition, lors 
même que toutes les variables se réduisent 
à des fonctions de l'une d'entre el 'es, déter- 
mine seulement les rapports entre les dif- 
férentielles de ces diverses variables. Mais 
l'indétermination qui subsiste est plutôt 
utile que nuisible dans les problèmes qui se 
résohent à l'aide du calcul infinitésimal, 
attendu qu'elle permet toujours de dispo- 
ser arbitrairement au moins d'une diffé- 
rentielle ; et d'ailleurs c'est pi-écisément en 
vertu de cette indétermi nation même que 
la définition nouvelle embrasse, comme cas 
particuliers, les définitions di\ erses qu'of- 
frirait, pour divers systèmes de variables 
indépendantes, la théorie que nous rappel- 
lions tout à l'heure. En vertu de la nou- 
velle définition, les divers systèmes de va- 
leurs que peuventacquérii- les différentielles 
de plusieurs variables liées entre elles par 
des équations données, restent évidemment 
les mêmes, quelles que soient celles de ces 
variables que l'on considère comme indé- 
pendantes; et ces équations différentielles, 
c'est-à-dire les équations linéaires auxquel- 
les satisfont ces divers systèmes de valeurs, 
ne sont plus, comme dans la théorie de Leib- 
nitz, des équations approximatives, mais 
des éqaations exactes. 
Pour écarter complètement i'ide'e que 
les formules employées dans le calcul dif- 
férentiel sont des formules approximatives, 
et non des foi'inules rigoareusemei^t exac- 
tes, il me paraît important de considérer 
les différentielles comme des quantités fi- 
nies, en les distinguant soigneusement des 
accroissements infiniment petits de> varia- 
bles. La considération de ces derniers ac- 
croissements peut et doit être, employée, 
comme moyen de découverte ou de dé- 
monstration, dans la rec'iicrche àa formu- 
les ou dans l'établissement des théorèmes. 
Mais alors le calculateur .se sert des infini- 
anent petits comme d'intermédiaires qui 
doivent le conduire à la connaissance des 
relations (jui subsistent entre des quantités 
finies ; et jamais, à mon avis, des (juantilés 
infiniment petites ne doivent être admises 
dans les équations fii;ales, où leur présence 
deviendrait sans objet et sans utilité. 
D'ailleurs, si l'on considérait les différen- 
tielles comme des quantités toujours très 
petites, on renoncerait par cela même à l'a- 
vantage de pouvoir, entre les difl'éren- 
tielles de plusieurs variables, en prendre 
une pour unité Or, pour se former une 
idée précise d'une quantité quelconque, il 
importe de la rapporter à l'unité de son 
espèce. 11 importe donc de choisir une 
unité parmi les dii'férentielles. Ajoutons 
qu'un choix convenable de cette unité suf- 
fit pour transformer en ditléi entielles ce 
qu'on appelle des fonctions dérivées. En 
effet, en vertu des définitions adoptées, la 
dérivée d'une fonction est ce que dt vient sa 
d//prentietle, qua/id ta différentielle de la 
«11 
variable indépendante est prise pour unité. 
Remarquons encore que la considération 
d'une variable, dont la différentielle est 
prise pour unité, simplifie l'énoncé de la 
définition que nous avons donnée pour les 
différentielles en général, et permet de ré- 
duire cette définition aux termes suivants : 
La différentielle d'une variable que/con- 
que est la limite du rapport entre les accrois- 
sements infiniment petits que peuvent ac - 
quérir simultanément la variable dont il 
s'agit et la variable dont la différentielle e^ii 
prise pour unité. 
Si l'on nouime variable primitive celle 
de laquelle toutes les autres sont censées 
dépendre, et dont la différentielle est prise 
pour unité, la différentielle d'une variable 
quelconque ne seranutre chose que la limite 
du rapport entre les accroissements infini- 
ment petits et simultanés de cette variable 
et de la variable primitive. 
La définition précédente fournitle moyen 
de démontrer fort simplement les proposi- 
tions fondamentales du calcul différentiel, 
et en particulier les théorèmes généraux 
relatifs à la différentialion des fonctions de 
fonctions et des fonctions composées. C'est 
ce que j'expliquerai dans un mémoire qui 
sera publié prochainement dans les Exer- 
cices d'analyse et de physique matlicmati- 
que. Un autre mémoire, dont je elonnerai 
un extrait dans un second article^ a pour 
but de montrer les avantages que peut of- 
frir, dans le calcul des variations, l'appli- 
cation des mêmes principes, et .spécialement 
la considération d'une variable j^rwzt/à'e, 
dont la variation serait prise pour unité. 
SCIENCES NATURELLES. 
P.VLËONTOLOGIE. 
Partie de squelette d'un mastodonte trouvée 
près du Puy. 
Des recherches géologiques, appliquées 
à la contrée que j'habite, m'ont fourni un 
grand nombre de malériaux de paléonto- 
logie. Parmi ces matériaux se trouvent des 
parties notables du squelette d'un masto- 
donte, dont j'ai cru pouvoir, provisoire- 
uiciit, annoncer l'exhumation. 
Nous avons, aux environs du Puy, des 
terrains de transport fort étendus, renfer- 
mant en abondance des ossements fosjiles, 
auxquels on n'a ûrit une certaine attention 
cjue depuis peu de temps. 
Il n'y a que quelcpies années qu'un pay- 
san, creusant une fosse, trouva dans son 
champ une mâchoire de mastodonte. Cette 
mâchoire, extraite de la fosse comme s'il se 
fût agi d'une sim|)le pierre nuisible à la cul- 
ture, fut portée sur un mur voisin, et l;\ 
mise en pièces, de telle sorte (]ue tout ce 
que l'on a pu, par la suite, recueillir de ses 
dents, se réduit à quelques fragments plus 
on moins déterminables. 
De petites portions de germes de dents, 
et surtout un cylindre ou tronçon d'ivoire, 
trouvé vers !a superficie d'un autre cliamp 
e[ai est vis-à-vis de celui dont je viens de 
parler, et de l'autre côté du vallon, m'a- 
vaient, depuis un certain temps, fait con- 
cevoir l'espoir d'obtenir des portions no- 
tables de /}i,istouonte. J'avais excité la sol- 
licitude intéressée du ja'opriélaire, et pro- 
vocjué sou attentioî) lorsqu'il se livrerait à 
ses travaux de culture. Le résultat a dé- 
passé mes espérances. Mais il ist arrivé que 
î'indivulu dont j'ai obtenu «ne partie des 
niâcUelièrcs, ainsi que les deux défenses, 
0 
ni 
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n'est point le même que celui auquel a ap- 
partenu nron premier tronçon d'ivoire, ce 
tronçon étant beaucoup plus gros c|uc ces }0' 
défenses. Ainsi il y a eu, bien certainement, ' 
plusieurs individus du même genre enseve- 
lis dans ce vallon ; ce que je possède seule- 
ment de débris recueillis en différentes lois 
en indique au moins trois, et peut-être ï 
quatre. |i 
L'examen comparatif de ces divers dé- ' 
bris m'a fait connaître que ces mastodon- 
tes n'étaient pas tous de même taille , et 
que, sous ce rapport, il y avait quelquefois 
des différences énormes ; ce qui me l'a 
prouvé d'abord sans réplique, ce sont deux 
calcanéums appartenant à deux fouilles sé- 
parées : l'un, faisant partie du groupe au- 
ciuel s'applique une note insérée dans le n" 
46 du Courrier du Velay, ne pèse qu'un 
kilogramme, tandis que l'autre, qui ap- 
partient à un groupe distinct, pèse jusqu'à 
un kilogramme et trois quarts. 
On ne peut pas dire ici que celte diffé- j 
rence de stature provient de ce que l'ani- I 
mal le plus petit étaitplus jeuneque leplus^ 
grand. C'est tout le contraire qui a lieu. En 
efl'et, il suffit de jeter un coup d'œil sur les j 
màchelières de l'individ a au calcanéum plus j 
petit, pour se convaincre qu'il était très] 
vieux lorsqu'il fut enseveli. Sa poitérieurej 
inférieure droite, que j'ai en place sur l'os 
maxillaire, offre, par exemple, des traces j 
d'usure telles que le disque lobé qui est à sa' 
partie antérieure envahit plus du tiers de 
la couronne ; et quant à l'individu au cal-j 
canéum plus grand , il n'était pas même 
tout à fi)it adulte ; c'est ce qxû est démon- 
tré par ce que j'ai de ses os des pieds : leurs 
épiphyses étaient si peu consolidées , que 
plusieurs se sont détachées. Faut-il expli-' 
quer cette variation de stature ou de gran-l 
dcur par des considérations puisées dans le 
sexe des individus ? ou Lien faut-il recon 
naître que le même tombeau recèle ici di 
verses espèces de mastodontes ? C'est sutI 
quoi des éludes et des explorations plusi^ 
complètes viendront probablement m'é 
clairer. 
Ce n'c't que dans un espace très circons 
crit, sur le penchant de deux collines for 
mant le col d'un vallon ou petit bassin, que! 
j'ai reconnu la présence de dépouilles de 
mastodontes. Elles y sont accompagnées de 
débris nombreux de iflpt'r.y, de restes de très 
petits cerfs , et de rhinocéros de grande 
taille. 
Immédiatement après ce petit bassin o 
vallon, il s'en ouvre un autre beaucoup plu 
étendu; celui-ci est également fossilifère J 
des dents, des la 
arties de défenses et deMi' îl 
mais il y a changement 
mes de lients, des 
os d'éléphan's; des bœufs, des cl'cvaux, d 
grands cerfs, des rhinocéros, dont un pe 
tit ; tels sont, en abrégé, les animaux auX' 
quels appLU tiennent les dépouilles que l'o; 
a ti ouvécs dans ce second vallon, où mei 
explorations réitérées pendant plusieurs an 
nées ne m'ont paso'fert la moindre esquille 
de mastodonte ou de tap'r. Les carnassier; 
manquent absolument, à ce qu'il paraît 
dans l'un et dans l'antre vallon ; je pens^ 
néanmoins être sur les traces d'ungisemeni 
de ces derniers, car je possède une dent eî 
la moitié d'une autre, avec de petits fragi' 
ments d'os maxillaires d'un cani^ qui oni 
été trouvés envasés dans un consïlomé-; 
rat argilo-Yolcanique , mais vers un autre 
point. 
Ces couches fossilifères du terrain de^ 
transport reposent presque partout ici sui| 
des argiles marneuses seins fossiles. Elle; 
I les 
