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arcs, (Vaufant plus curieuses, qu'il yenlre 
des relations de périmètres et de^ coml liions- 
de maximmn et de minimum, qu'on sait 
être presque toujours difliciles ù traiter, 
même par l'analyse. 
Enfin, celte marche synthétique a en- 
core ici un avantage particulier, c'est 
qu'elle s'applique au\ coniques sphcrii/ucs, 
sujet d'un ordre plus relevé sous le point de 
vue analytique. 
On détermine sur une conique sphérique 
les arcs dont la difléi ence est assignable, 
non en ligne droite, comme pour les coni- 
ques planes, mais en arc de cercle ; et l'on 
démontre diverses propriétés de ces arcs, 
analogues aux propriétés des arcs des coni- 
qu( s planes. Et ici le champ s'agrandit sin- 
gu! èremei)t,car on sait que toutes les pro- 
positions sphériques sont doubles, parce 
qu'à chaque figure tracée sur la sphère 
correspond une figure supplémentaire. La 
courbe qui correspond à une conique sphé- 
rique est elle-même une conique sphéri- 
que. De sorte que les propriétés de ces 
courbes, relatives à leurs arcs, donnent 
lieu à d'autres proprie'tés des mêmes cour- 
bes, d'un genre diiférent. Une chose singu- 
lière, qu'on aurait pu prévoir à priori, 
c'est que deux arcs d'une conique sphéri- 
que dont la diftérence est assignable en arc 
de cercle, donnent lieu, dans la conique 
• supplémentaire, à deux segments de même 
surface. Une question de différence d'arcs 
se change donc en une question d'égalité 
de surfaces, qui paraît beaucoup plus sim- 
ple. 
Je donne de ces propositions deux dé- 
monstrations différentes, dont le principe 
repose sur deux théorèmes d'utie. grande 
généralité, dus à M. Ch. Dupin. Ces théo- 
rèmes sont si différents par eux-mêmes, et 
les usages que l'auteur en a faits dans ses 
Mémoires : De la stabililé des corps flot- 
tants, et Des roules de la luniiè/e^ sont si 
différents aussi, qu'on ne verra pas sans 
intérêt ces belles propriétés de l'étendue 
concourir ici à des buts presque identi- 
ques. A ces théorèmes généraux il faudra 
joindre, dans un cas, une propriété des 
sections coniques, démontre'e par M. Pon- 
celet , dans son Traité des propriétés pro- 
jectiles, et dans l'autre, une propriété des 
coniques sphériques qui setrouve dans mon 
mémoire sur les propriétés générales de ces 
courbes. 
Pour abréger, j'appellerai arcs sembla- 
bles une section conique, les arcs que nous 
avons à considérer, c'est-à-dire les arcs 
dont la différence est assignable en ligne 
droite. J'appellerai angle circonscrit à un 
arc, l'angle formé par les deux tangentes 
menées par les extrémités de l'arc; et côtés 
de l'angle, les longueurs de ces tangentes 
comptées depuis les points de contact jus- 
qu'à leur point de rencontre ou sommet de 
l'angle. 
Il y a entre les arcs semblables deux re- 
lations générales, différentes, qui consti- 
tuent leurs propriétés les plus importantes 
et sont l'origine de la plupart des autres. 
Ces deiix propriétés principales sont expri- 
mées par les deux pn miers des théorèmes 
suivants : 
I. Deux arcs semblables d'une section 
conique ont toujours les sommets de leurs 
angles circonscrits, situés sur une seconde 
section conique décrite des mêmes foyers 
que la première ; 
Et la diflcrencedes deux arcs est égale à 
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la somme dts côtés de l'angle circonscrit 
au premier, moins la somme des côtés de 
l'angle circonscrit au second. 
Ce théorème fournit une construction 
simple pour déterminer sur une conique, 
à partir d'un point donné, un arc sembla- 
ble à un arc conné, et il fait connaître la 
différence entre les deux arcs. 
Il servira aussi pour construire un arc 
multiple, l\ une droite près, d'un arc donné; 
l'arc continu formé de leur somme satis- 
fera à la question. 
Enfin, ce même théorème montre que la 
construction d'un arc sous-multiple, à une 
droite près, d'un arc donné, dépend de la 
résolution d'une équation algébrique. 
Ce sont là les questions, analogues à la 
division d'un arc de cercle en parties éga- 
les, que l'analyse s'est attachée principale- 
ment à résoudre. 
Le théorème se prête à diverses autres 
questions. En effet, tous les arcs sembla- 
bles, pris sur une conique, ont les sommets 
de leurs angles circonscrits situés sur une 
seconde conique homofocale. CoHséqaem- 
ment, toutes Its cordes soutendues par ces 
arcs sont tangenles à une troisième coni- 
que, qui est la polaire de la seconde, par 
rapport à la première. Ces propriétés per- 
mettent, quand un arc est donné, de dé- 
terminer un arc semblable, qui satisfasse à 
certaines conditions, par exemple, que son 
angle circonscrit ait son sommet situé sur 
une droite ou sur une courbe donnée, ou 
que cet angle soit de grandeur donnée ; ou 
bien que la corde soutendue par l'arc passe 
par im point donné ou soit tangente à une 
courbe, ou soit de grandeur donnée, etc. 
II. De quelque manière que soient pris 
sur une conique deux arcs semblables, les 
tangentes menées par K-urs extrémités for- 
ment toujours un quadrilatère circon- 
scriptible au cercle (1). 
Ce théorème offre un nouveau moyen 
très simple de déterminer, à partir d'un 
point donné, sur une conique, un arc sem- 
blable à un arc donné. 
Mais ce théorème est important surtout à 
raison des conséquences théoriques qui en 
découlent. 
III. Quand deux arcs semblables ont 
une extrémité commune, leur différence 
est égale à la différence entre les tangentes 
menées par les deux autres extrémités et 
terminées à leur point de concours; 
Par ce point et l'extrémité commune des 
deux arcs, ou peut faire passer une coni- 
que homofocale à la proposée. 
Ce théorème donne le moyen de diviser 
un arc en deux parties dont la différence 
soit rectifiable. Car il suffit de faire passer 
(1) On peut demander quelle est la relation qui a 
lieu entre les ares déterminés sur le cercle, comme 
sur la conique , par les quatre tangentes communes 
Hux deux courbes. Cette relation se trouve com- 
prise dans le théorème suivant : 
Si l'on décrit une ellipse dans le plan d'une sec- 
tion conique quelconque A, et qu'on mène les quatre 
tangentes communes aux deux courbes , les points 
de contact marqueront sur la couiqiie A deux arcs 
qui jouissent de cette propriété, que, la somme des 
éléments du premier divisés respectivement par les 
demi-diamètres de l'ellipse qui sont parallèles aux 
directions de ces élémeuts , moins ta somme des élé- 
ments du second divisés respectivement par les 
demi-diamètros qui leur sont par»llcles, forment 
deux iuiégiules dont la différence s'exprime algé- 
briquement. 
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parle sommet de l'angle circonscrit à l'arc, 
ime conique homofocale à la proposée et 
rencontrant celle-ci; l'un des points de 
rencontre sera le point de division cherché; 
et la différence cles deux arcs déterminés 
de la sorte sera égale à la diffe'rence des 
deux ( ôtés de l'angle circonscrit à l'arc pro- 
posé. 
IV. Quand deux arcs semblables ont 
une exti émilé commune, dans l'angle for- 
mé parles tangentes menées parleurs deux 
autres extrémités, on peut inscrire un cer- 
cle qui touche la conique an point commun 
des deux arcs. 
Ainsi, quand un cercle est tangent à une 
conique en un point qiulconque, les deux 
tangentes communes à ces deux courbes 
de'terminent sur la conique deux arcs com- 
pris entre leurs points de contact et le point 
de contact du cercle, qui ont leur diffé- 
rence rectifiable; et cette différence est 
égale à la différence des deux tangentes. 
V. Si l'on divise un arc en m arcs sem- 
blables, c'est-à-dire en m arcs ayant deux 
à deux des différences rectifiables, ou, ce qui 
revientau même, en m arcs dont chacun ait 
avec la partie de l'arc proposé une dif- 
férence rectifiable, les points de division 
sont lels, que les tangentes à la courbe, en 
ces points, forment la portion de polygone 
de (m + 1 ) côtés qui a le périmètre mini- 
mum, parmi toutes les portions de poly- 
gone du même nombre de côtés, circon- 
scriptibles à l'arc proposé. 
VI. Cette même portion de polygone a 
ses sommets situés sur une seconde coni- 
que décrite des mêmes foyers que la pro- 
posée, et a, par rapport à cette courbe, un 
périmètre maximum; c'est-à-dire que, de 
toutes les portions de polygones de m som- 
mets inscriptibles dans le même arc de la 
seconde conique, cette portion de polygone 
est celle qui a le plus grand contour ou pé- 
rimètre. 
Ainsi la même portion de polygone, cir- 
conscrite à un arc de la première conique 
et inscrite dans un arc de la seconde, jouit 
tout à la fois, quant à son périmètre, des 
deux propriétés de minimum et de maxi- 
mum, de même qu'une (lortion de poly- 
gone régulier, circonscrite à un arc de 
cercle et inscrite dans un autre arc de cer» 
cle concentrique. 
De sorte que dans ces questions de péri- 
mètres, ce sont des sections coniques dé- 
crites des mêmes foyers, qui correspondent 
à des cercles concentriques. 
VII. Au contraire, si ce sont les surfa- 
faces des polygones, que l'on compare, au 
lieu des périmètres, ce seront des coniques 
semblables, concentriques et semblable- 
ment placées, qui correspondront aux cer- 
cles, c'est-à-dire que: Si une portion de' 
polygone est circonscrite à un arc de sec- 
tion conique et inscrite dans un autre arc de 
section conique semblable, semblablement 
placée et conceutrique à la pi'emière, cette 
portion de polygone aura sa surface mini- , 
nnim par rapport à toute autre portion dej î^*^'") 
polygone de même nombre de côtés cir-^ 
conscriteau premier arc, et maximum par 
rapport à toute autre portion de po:ygone 
inscrite dans le second arc. 
VIII. Quand deux arcs d'une section co-, 
nique sont semblables, si on leur circon- 
scrit les deux portions de polygones de m 
côtés, de périmètre minimum, la différence' 
des deux périmètres sera toujours la même,i i 
quelque soit le nombre des côtés, et serai ; i 
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