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îgale précisément à la différence des deux 
arcs. 
IX. Toutes ces propositions sont com- 
îiunes aux trois sections coniques. On en 
jouclut aisément divers corollaires qui ex- 
priment quelques propriétés particulières 
le ces courbes. Pour l'hyperbole, par 
sxemple, on voit sur-Ie-cliamp que la dif- 
Férence entre l'arc infini de la courbe, 
I compté à partir d'un point quelconque, et 
l'asymptote aussi infinie, est une quantité 
finie qui s'eiprime par un arc de la courbe, 
3t qui, conséquemment, ne peut être assi- 
gnée en ligne droite. 
L'ellipse étant la seule courbe fermée et 
a laquelle on puisse circonscrire un poly- 
gone complet, elle est la seule qui donne 
lieu aux théorèmes suivants : 
X. Si l'on conçoit une ellipse divisée en 
un certain nombre d'arcs semblables, et le 
polygone circonscrit, formés par les tan- 
gentes aux points de division, 
1" Les sommets de ce polygone seront 
tous situés sur une seconde ellipse décrite 
des même foyers que la proposée ; 
2° Pour un autre polygone pareil, ré- 
pondant à un autre point de départ des di- 
visions de l'ellipse, la seconde courbe sera 
toujours la même; 
3" Ces polygones auront tous le même 
périmètre ; 
4." Ce périmètre est mininum par rap- 
port à tous autres polygones du même 
nombre de côtés circonscrits à I ellipse; 
5" Et il est maxinîium par rapport à tous 
autres polygones du même nombre de 
j côtés inscrits dans la seconde ellipse. 
Ce théorème ne s'applique pas seulement 
aux polygones convexes formés par les tan- 
gentes aux points de division de la courbe, 
prises consécutivement pour côtés j il a 
lieu pour les polygones étoiles de même 
espèce, formés par ces mêmes tangentes 
dont on prend les points de concours de 
trois en trois, de quatre en quatre, etc., 
pour sommets du polygone. 
XI. Réciproquement, quand unpolygone 
de m côtés est inscrit à une ellipse, et en 
même temps circonscrit à une seconde 
ellipse décrite des mêmes foyers que la 
première, ce polygone est, par rapport 
à la première courbe, un polygone inscrit 
de périmètre maximum, et par rapport à 
la seconde, un polygone circonscrit de pé- 
rimètre minimum. 
Ses m côtés marquent sur l'ellipse in- 
scrite les divisions de cette courbe eu 7n 
arcs ayant deux à deux des différences rec- 
îifiables. 
Une infinité d'autres polygones peuvent 
être inscrits dans la première courbe et 
circonscrits en même temps à la seconde. 
Tous ces polygones ont le mêaie péri- 
mètre. 
j XII. Un polygone quelconque étant cir- 
conscrit à une ellipse, on pourra circon- 
scrire à cette courbe une infinité d'autres 
polygones, tels que les arcs compris entre 
les angles de chacun d'eux étant comparés, 
un à un, aux arcs compris entre les angles 
du premier, donneront des différences rec- 
tiliables. 
Tous ces polygones auront le même pé- 
rimètre, c'est-à-dire que la somme de leurs 
côtes formera toujours une même lon- 
gueur. 
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t)ans la construction d'un nouveau pô- 
lygone, il n'est pas nécessaire que les arcs 
soutendus par ses angles aient entre eux le 
même ordre que les arcs relatifs au pre- 
mier polygone, auxquels ils correspon- 
dent. 
XIII. Quand deux ellipses sont décrites 
des mêmes foyers, les deux tangentes à la 
courbe interne, menées par un point de la 
courbe externe, font des angles égaux avec 
la normale en ce point; de sorte que l'une 
des tangentes e'tant considérée comme un 
rayon lumineux incident, l'autre représen- 
tera le rayon réfléchi (1). 
Il suit de là qu'un rayon parti dans une 
direction quelconque et qui éprouve plu- 
sieurs réflexions successives sur la conca- 
vité d'une ellipse, ne cesse pas, dans toutes 
ses directions, d'être tangent à une même 
ellipse homofocale à Ja première. 
D'après cela: quand un rayon lumineux 
parti d'un point d'une ellipse se réfléchit 
sur la courbe et revient au lîiênie point 
après un certain nombre de réflexions, le 
polygone formé par les directions consé- 
cutives de ce rayon a toujours le même pé- 
rimètre, quel qu'ait été sur la courbe son 
point de de'part, le nombre des réflexions 
étant toujours Je même. 
XIV. Plus généralement, m ellipse e'tant 
décrites des mêmes foyers, si un rayon parti 
d'un point de l'une se réfléchit successive- 
ment sur les autres et revient au même 
point, le polygone formé par les /« direc- 
tions du rayon a toujours le même périmè- 
tre, quel qu'ait été le point de départ du 
rayon. 
Ce périmètre est maximum par rapport 
à tous autres polygones de m côtés, dont 
les sommets seraient situés respecti\ ement 
sur les m ellipses. 
Plusieurs ellipses j)euvent se confondre. 
Une ellipse peut avoir son petit axe nul et 
se réduire au segment rectiligne compris 
entre les deux foyers. Toutes les tangentes 
à cette ellipse seront des droites passant 
par ces points. 
Dans un prochain mémoire qui aura 
pour objet les propriétés des coniques 
spliériqacs, je ferai consiaître les considé- 
rations de géométrie qui m'ont conduit à 
ces diverses propositions. 
SCIENCES NATURELLES. 
PHYSIOLOGIE ANiaiALE. 
Déi>eloppement de V allant oïde chez riiorn- 
me; par M. Coste. (Deuxième Mé- 
moire) . 
(Deuxième article.) 
Je vais m'occuper maintenant de l'ori- 
gine de l'allantoide chez l'homme, me ré- 
servant d'exposer plus tard toutes les mo- 
difications qu'elle éprouve pendant la ges- 
tation et de faire connaître toute la part 
qu'elle prend au développement de l'em- 
bryon. 
Et d'abord qu'est-ce qu'une allanto'lde?... 
Pour répondre à cette question d'une 
manière catégorique , il faut commencer 
(1) Cela résulte du théorème suivant, démontré 
par M. Poncelet dans dans son Traité des pro- 
priétés projectives des figures (p. 277) : a Si l'on 
joint, par des droites, le sommet d'un angle quel- 
conque circonscrit à une section conique , avec 
les deux foyers de la courbe , ces deux droites 
formeront respectivement des angles égaux avec les 
tangentes et par conséquent avec la droite qui di- 
vise, soit l'angle, soit le supplément de l'angle de 
ces tangentes , en deux parties égales. 
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par se faire une idée bien éxacté de l'ori- 
gine de celte membrane chez les oiseaux et 
les mammifères, afin d'établir ainsi, préa- 
lablement , un terme de comparaison qui 
nous permettra d'apprécier à leur juste va- 
leur [es faits que l'espèce liumaiiîe pré- 
sente , et nous servira de mesure pour ju- 
ger jusqu'à quel point ils sont analogues , 
jusqu'à quel point ils peuvent différer, jus- 
qu'à quel point enfin les produits que le ha- 
sard nous procure se trouvent rapprochés 
de l'état normal. 
En procédant ainsi, nous ferons l'appli- 
cation de la méthode à la fois la plus sim- 
ple et la plus efficace. 
Voici ce que, à une époque déterminée 
du développement des oiseaux et des mam- 
mifères , l'observation directe permet de 
constater d'une manière facile à vérifier : 
La forme de l'embryon peut être, jus- 
qu'à un certain point , comparée à celle 
d'une pantoufle ou d'un chausson dont la 
grosse extrémité correspond à la tète et la 
petite à la queue. Le rebord ovalaire de 
l'ouverture de cette pantoufle ou de ce chaus- 
son représente le bord de l'ombilic évasé 
depuis la région du cou jusqu'à la sym- 
physe du pubis, ombilic qui, dans tout son 
pourtour, se replie en arrière pour se con- 
tinuer avec l'amnios. Les parois du chaus- 
son lui-même doivent , dans cette repré- 
sentation, être considérées comme l'image 
de l'enveloppe géne'rale ou de la peau du 
nouvel individu. 
Les choses e'tant en cet état, on voit sur 
la ligne médiane et dans toute la longueur 
de la cavité du chausson que l'enveloppe 
générale ou la peau de l'embryon repré- 
sente , on voit , dis-je , un tube droit qui , 
placé en avant de la colonne vertébrale, rè- 
gne depuis le point oii s'ouvrira la bouche 
jusqn'à celui où s'ouvrira l'anus. Ce canal 
droit n'est autre chose que le tube intesti- 
nal. Il communifjue , sur le milieu de sa 
longueur, par un pédicule très court d'a- 
bord , très large, avec une vésicule spa- 
cieuse qui est constitue'e par le feuillet in- 
terne du blastoderme et qui représente ac- 
tuellement la vésicule ombilicale propre- 
mentdite,car le feuillet externe de ce nrême 
blastoderme , après avoir donné naissance 
à l'amnios, tend à s'en dé;aclîer pour se 
convertir en chorion non vasculaire. Le pé- 
dicule très court, très large, par lequel la 
vésicule ombilicale communique avec le 
milieu de la longueur du tube intestinal 
droit, sort de la cavité abdominale ouverte 
par l'ombilic qui forme autour de ce pédi- 
cule un rebord ovalaii'C fort allongé. 
A mesure que le progrès du développe- 
ment se poursuit , et sans que la forme de 
l'intestin on ses relations avec le pédicule 
de la vésicule ombilicale soient encore Sf n- 
siblement modifiées, on voit, vers l'extré- 
mité caudale, sortir de l'abdomen, par l'ou- 
verture de l'ombilic, une vésicule nouvelle 
qui émane de l'intestin rectum , dont elle 
n'est q\run appendice en cul-de-sac ; en 
sorte que , à cette époque , le tube intesti- 
nal, la vésicule ombilicale, la nouvelle po- 
che qui vient de naître, communiquent si 
manifestement ensemble , qu'on peut con- 
sidérer toutes ces parties comme ne l-Lirmant 
qu'un seul système, comme ne circonscri- 
vant, en quelque sorte, que des comparti- 
ments d'une même cavité. 
La nouvelle vé.sicule qui, sous forme de 
Icul de sac de l'extrémité postérieure du rec- 
tum, sort de l'abdomen à travers l'ombilic. 
