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seules qui puissent èlre somnii'cs, j'ai île 
])lu- établi lies Ihéoiciues m>iu'raax relatifs 
à la c iiivergtM\ce îles si'rics «[ui .'■e prolon- 
gent in léfuiinieiit ilans lui seul sens. L é- 
iionc ' do CCS tlieorèmes, et de quelqiits an- 
tres relatifs anx séries qui se ])ro!ongcnt 
indefiniiiieut dins deux sens opposés, iIr- 
Aiendra beaneouj) pins simple , si l'on are- 
conrs à la eonsidéi ation de certaines quan- 
tités qne j'appellerai les niodtiies des séries. 
Entrons à ce si jet dans qmlqnes détails. 
Considérons d'abord nne série qui se 
prolonge indéfiniment dans un seul sens, 
et désignons p:ir ime même lettre a siicces- 
sivemenient alfeclée des indices 
0, 1, 2, 3,... n,.. , 
les divers termes de cette série. Le tcru'ie 
général, représenté par n,,, aura pour mo- 
dule ui>e cei faine quantité positive p„, et 
la racine /z''^"" de cette quantité convergera, 
pour des valeurs croissantes du nonil)re n, 
veis une ou plusieurs limites. Or, la plus 
grande de ces limites sera ce que j'appelle- 
rai le modtdc de la série. Cela posé, on dé- 
duira des principes établis dans l'analyse 
algébrique la proposition suivante: 
I""' Théorème. Une série, qni se prolonge 
indéfiniment dans un seul sens, est conver- 
gente quand son module reste inférieur à 
l'unité, et divergente quand ce module de- 
vient supérieur à l'unité. 
Considérons maintenant une série qui se 
prolon{^e indi finiment d.ms les deux sens, 
et désijjno"s ses divers termes par une même 
lettr. u ■ uecessivement affectée , d'une 
part, d-S m lices nuls ou positifs 
0, 1, 2, 3,..., n,...: 
d'autre part, des indices négatifs 
— 1, -2, -3,..., —n,.... 
Les deuxteriues généra nx u„, ik.,, offriront 
ordinairement deux modules différents 
p„, p..,,; et les lieus quantités posiiivcs vers 
lesquelles convergeront, pour des valeurs 
croissantes de ji, les plus grandes valeurs 
des racines /î''"'" de ces modules, sont ce 
que nous appellerons les deujc modales de 
la série en question. Gela posé, comme 
cette série pourrait être censée résulter de 
la l'éuu'on de deux autres dontchac lue se 
prolongerait indéfiniment dans un seul 
sens, il Cit c'air que le théorème ci-dessus 
énoncé enl:raiijera encore le suivant. 
2^^ Théorcmc. Une série qui se prolonge 
indéfiniment dans les deux sens est conver- 
gente quand ses deux modules .'■ont infé- 
rieurs à l'unité, et divergente quand un de 
ces modules devient supérieur à l'unité. 
Considérons maintcnarit deux séries dont 
les termes soient représentés par deux let- 
tres distinctes », e, chacr.ne de ces lettres 
étant successivement anectécs de tous les 
indices entiers positifs, rulstt négatifs. Les 
produits que l'on former.i, en multipliant 
les divers termes de la première série par 
les divers termes de la seconde, pourront 
être groupés entre eux de manière que 
chaque groupe renferme tous les produits 
dans lesquels les indices des deux lettres 
v, o.f.frent une somme donnée n ou — ji. 
De plus, on pourra imaginer une nouvelle 
série dont le terme général sera la somme 
des produits correspondants i un nséme 
groupe. .Cela posé, aux propositions déjà 
énoncées .se joindront de nouveaux théo- 
rèmes relatifs ,i la nouvelle série. On rc- 
coiniaîtra, par exemple, que les modules de 
la nouvelle st'rie ne peuvent surpasser les 
modules des séries données, et qu'en con- 
séquence la nouvelle série sera conver- 
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gente , si chacune des séries données a 
jiour modules des nombres intérieurs 
l'imité. 
Dans le cas où l'on considère une série 
ordonnée .suivant les puissances CHtièreset 
ascendantes dUne certaine varial)le .r, le 
premier des théorèmes précédemment 
énoncés fournit une limite siqiérienrc que 
le module de la variable .r ne peut dépas- 
ser, sans que la série cesse d être conver- 
gente. IMais, d'après ini autre théorème 
que j'ai démontré dans les Exercices d'a- 
nalyse, si la série ri présente le déve'oppe- 
ment d'une fonction donnée, cette série 
restera convergente, tant que le module 
de la variab'c stra inférieur au [)lus petit 
de ceux pour lesquels la fonction et sa dé- 
rivée restent continues. On doit donc pré- 
sumer que, dans un grand nombre de cas, 
ce plus petit module sera précisément ce- 
lui qui réduirait à l'unité le module de la 
série. Or, sans donner de ce théorème une 
démonstration générale, on peut du moins 
le démontrer dans une infinité de cas, et 
spécialement lorsque la fonction proposée, 
au moment où elle devient discontinue, 
peut être considérée comme le produit 
d'une autre fonction qui reste continue, 
par une puissance fractionnaire ou néga- 
tive d'un binôme linéaire qui devient alors 
nul ou infini. Les mêmes remarques peu- 
vent être éferidues au cas où la fonction 
proposée dépend de plusieurs variables, 
ainsi ipi'au cas où le développement ren- 
ferme h la fi)is des puissances positives et 
des pui.ssances négatives, mais entières, des 
variables dont il s':igit. 
Ces considérations fournissent le moyen 
de trouver, en astronomie, les modules de 
séries qui re[)résen(ent les développements 
des fonctions perturbatrices, et d'établir les 
règles de convergence de ces ntêines sé- 
• 111" 
ries, ain i que je roc propose de l'expliquer 
dans im autre article. 
SCIENCES NATURELLES. 
P.\LÉONTOLOGIE. 
Deuxième noie ^î<r une mâchoire inférieure 
fossile de grand ruminant; par M. Du- 
VERNOV. 
f Deuxième nriicle. ) 
J'arrive à la question géologique de mon 
sujet, celle sur la nature du terrain dans 
lequella mâchoire degiial'e d'Issoudun a dû 
être enfouie et c jnservée. Ma première note 
laissait, à cet égard, une lacune impor- 
tante à remplir <|ue je n'ai pas dissimu- 
lée. A.fin de la faire disparaître autant qu'il 
sci'ait en mon [)Ouvoir, je me suis hâté d'al- 
ler aux renseignements immédiatement 
après ma communication. Ma note était 
du 29 mai : voici ce que m'écrivait, dès le 
7 juillet dernier, M.Maiigeot, ingénieur en 
chef des ponts et chaussées du département 
de l'Indre : « L'un des premiers objets dont 
je inc suis occupé à Iss udun, est celui que 
vous m'aviez recommandé. M. Sarlin (I) 
m'a montré îe puits au fond duquel il a 
trouvé la mâchoire de girafe fossile, et m'a 
fait p.at dt toutes ses conjectures à cet 
égard ; mais nous n'avons pu descendre 
dans ce puits, fuite d'un treuil ; d'ailleurs 
il faudrait pri'alablcment épuiser beaucoup 
(I) I.i('iili'n,in( coimiiaïuI.iiU la gtiid.irmerie à Is- 
.soiidim , iUH|iu'l la science devra d'avoir recueilli le 
prciiiier, avec le plus grand soin , ces restes fossiles 
si préeieii.x. 
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d'caa pour reconnaître la terre jaune et le 
tuf dans lesquels il y auniit des recherches 
à continuer. Ces recheiclu s seraient as-cx 
coûteuses , si l'on n'avait pas pour les diri- 
ger un homme aussi actif et aussi dévoué 
que M. Sartin; mais, en profitant de sa' 
surveillance, de ses connaissances acquise»! 
de la localité et de son influence, je présume i 
qu'il ne faudrait pas plus de 500 francs 
pour entrer en galerie dans cette terre 
jaune , qui est recouverte par une petite 
montagne de décombres, [^a mâchoire de 
girafe reposait dans cette argile jaune et 
presque à la surface, puisque c'est en tra- 
vaillant dans l'eau que les manœuvres del 
M. Sartin l'ont saisie avec les mains. ' 
« Cette argile fermait le fond du puits; 
et en effet, puisqu'elle retenait l'eau , ceu'x 
qui ont fait le puits ont dû s'arrêter à cette 
couche. 
« M. Sartin avait observé avec étonne- 
mcnt l'élargissement du puits à la base, et 
n'a pas hésité d'admettre la préexistence 
d'une caverne qu'on aurait régularisée. 
J'aurais voulu voir cette terre jaune et vous 
en adresser des fragments avec quelque 
peu du tuf dont parle M. Sarlin ; mais tout 
cela est enfoui sous une montagne de dé- 
combres, et il n'y a que de nouvelles fouil- 
les qui puissent permettre d'en trouver , 
en même temps qu'on chercherait à suivre 
la fissure ou la crevasse dont je suis porté 
fortement à admettre l'existence d'après 
les souvenirs de M. Sarlin. » 
Tels sont les détails destinés à .servir de 
supplément, sous le rapport géologique , à 
ma première communication. 
J'ajouterai, en ternriinant , qu'à mon 
passage à Neufchàtel, en Suisse, au mors 
de septembre dernier , M. Aga.ssiz m'a fait 
voir le modèle en plâtre d'une dent inci.^i\e 
de grand mammifère, dont l'original se 
trouve dans la collection de M. Nicolet,' 
pharmacien à la Chaux-de-Fond, dont que 
notre collègue a déterminée comme étant 
l'incisive externe d'une girafe fossile. 
On y trouve en effet les carictères si 
particuliers de forme et de volume que 
présente l'incisive externe de la girafe. 
M. Nicolet l'a découverte dans un ter 
rain de mollasse. 
Enfin M. Owen m'annonce, dans le pots- 
sci iptum de son intéressante lettre, que le 
capitaine Cautley et le docteur "Valemcr 
ont découvert, dans le district inférieur de 
l'Himalaya indien , deux espèces de girafes 
fossiles , enfouies dans le miocène ou tei'- 
rain tertiaire moyen , avec des restes d'hip- 
popotames, de mastodontes , de sivathe- 
rium, etc. 
Notre savant collègue ajoute qu'il a pu 
comparer ces fossiles et vérifier l'exactitude 
des déterminations de ces paléontologistes 
distingues de l'armée anglaise dans l'Inde. 
Ainsi , dans ces temps primitifs de notre 
planète , la gir-afe n'était pas restreinte , 
comme à présent, à une seule de trois par 
ties de l'ancien continent; elle pouvait 
mesurer, dans sa course rapide, les plaines 
et les vallées de l'Europe et de l'Asie. 
MET.VLLUUGIE. 
Sur le jHilladium , son exlraciion et ses t)„( 
(dlinges; par M. W. Cock. 
Le palladium a été découvert en 1803^ 
par le docteur \Vollaston, comme un mé-' 
tal qui entrait dans les alliages de platine 
natif. Pendant longtemps après cc>tte de- 
couverte on a cru que ce minerai de pla- 
tine était la source unique à laquelle c 
