tllll 
f[x) = o, 
"OU, ce qui l'evient au même, l'équation 
(1 ) DxK = o. 
tOn ssit encore que les caractères qui ter-- 
tvent à distinguer les iiiaxima des minima se 
'déduisent de la considération des dérivées 
de II, d'un ordre supérieur au premier, et 
qu'en particulier une racine simple de l'e'- 
quation (1) fournit un maximum ou un mi- 
nimum de u, suivant que la valeur de Dfj?, 
correspondante à cslte racine, est une 
quantité négative ou positive. 
Dans certaines questions, et particuliè- 
frement dans celles qui se rattachent au cal- 
(cul des limites, il importe de déter miner, 
inon pas tous les maxima ou mininia d'une 
Ifonction donnée, mais .'euiement le plus 
grand de tous les maxima ou le plus petit 
îde tous les nu'iu'ma, c'est-i'i-dire, en d'au- 
tres termes, le iiiaximuin maximorum ou 
lie minimum mnumoruin. On peut y parve- 
nir, dans un grand nombre de cas, à l'aide 
■des considéralions suivantes. 
Concevons que la fonction u renferme, 
:avec la variable x-, un certain paramètre a. 
■Il arrivera souvent que, pour une valeiu' 
particulière de ce paramètre, il sera facile 
de reconnaître quelle est celle des racines 
de l'équation (1) qui fournit un maximum 
maximorum de u. Soient x cette racine, et 
u la valeur con espondante de la fonction 
u ou le maximum maximorum de cette 
fonction. Si l'on pose 
ï),u =f (x), 
on aura 
(2) u =:/(x), 
X étant racine de l'équation 
(3) y'(x)=o. 
Concevons maintenant que le paramètre a, 
■contenu dans la fonction u. vienne à varier, 
I par degrés insensibles. La racine x de l'é- 
: quAtion (3) qui correspond au maximum 
maximorum de la l'onction u variera elle- 
même en général pir degrés insensibles, 
jusqu'à 1 instant oii l'on aura 
désignant un autre maximum corres- 
-pondant à une autre racine x de l'équa- 
,tion (3), par conséquent jusqu'à l'instant 
où l'équation en u, produite par l'élimina- 
•tion de x entre les forniules 
(4) a = o, u = o, 
acquerra des racines égaies. Soit 
(5) U = o 
•cette équation en «. Parmi les valeurs de u 
qui représenteront des i acines égales de 
l'équation (5), se trouveront comprises cel- 
■ies qui correspondront à des racines égales 
de l'équation (1), c'est-à-diie à des valeurs 
de X, pour lesquelles se vérifieront simul- 
tanément l'équation (1) et la suivante 
(6) Bla = o. 
Observons d'ailleurs que des raisonne- 
ments semblables à ceux dont nous avons 
fait usage nous auraient encore conduits 
aux équations (5) et (6), s'il eût été ques- 
tion de fixer non plus le maximum maxi- 
morum, mais le minimum minimorum de la 
fonction u. Cela posé, on peut évidemment 
énoncer la proposition suivante. 
1<''' Théorème. Soient x une variable 
réelle, et 
u=f{x), 
une fonction de x, qui demeure continue 
du moins pour des valeurs de x renfermées 
entre certaines limites. Soit, de plus, x une 
racine de l'équation 
Di- M = o, 
qui, étant comprise entre ces l'mites, four- 
nisse le maximum maximorum ou le mi- 
nimam minimorum de a, pour une vaîei.i' 
particulière d'un paramètre y. contenu dans 
la fonction u. Si ce paramètre vient à va- 
rier^ la racine x continuera de correspon- 
dre ait iitaximum maximorum ou au mini- 
mum miiiimoriini de la fonction u, jusqu'au 
moneent où le paramètre a deviendra tel 
que l'équation 
U = o, 
produite par l'élimination de x entre les 
formules 
u = f [x], DiH = 0, 
acquière des racines égales, par conséquent 
des racines pour lesquelles se vérifie la con- 
dition 
= o. 
D'ailleurs cette condition sera remplie pour 
les valeurs de u correspondantes à des va- 
leurs de X qui vérifieront non seulement 
l'équation 
D.i(i = o, 
mais encore la suivante 
ïf,u = o. 
En raisonnant de la même manière, on 
établira généralement la proposition sui- 
vante : 
2'^ Théorème. Soient x, j, z,... des va- 
riables réelles, et 
(t =/ (x, 7, z,...). 
une fonction l'éelle de x, j, z,..., qui de- 
meure continue, du moins pour des valeurs 
de X, y, s,... renfermées entre certaines 
limites. Soit de plus 
X, y, z,... 
un système de valeurs de x, y, z,... qui, 
étant comprises entre ces limites, vérifient 
les équations 
Y)^u = o, D;«=o, T).u = o,...^ 
et qui fournissent le maximum maxiiriprum 
ou le minimum minimorum àeu; pour cer- 
taines valeurs particulières d'un ou de plu- 
sieurs paramètres -j., S, y, ., contenus dans 
la fonction u. Si ces paramètres viennent à 
varier, le système des va leurs 
x = x, jj — y, z = z,..., 
conlinaeia de correspondre au maximum 
maximorum, ouau minimum minimorum de 
la fonction u, jusqu'au moment où les pa- 
ramètres deviendront tels que l'équation 
U = o, 
produite par l'élimination de x,j; z,... en- 
tre la formule 
'i =/[r, ...) 
et les suivantes 
jy^u = o, BjU — o, Dm = o,..., 
acquière des racines égales, par conséquent 
des racines pour lesquelles se vérifie la 
condition 
D„U = o. 
D'aitleui's cette condition sera remplie pour 
les valeurs de u correspondantes à des va- 
leurs de X, J, z,... qui vérifieront non seu- 
lement les formules 
Bji = o, DyU — o, = o,. ., 
mais encore la suivante 
V — o, 
V désignant la fonction alternée que l'on 
forme avec les termes renfermés dans le 
tableau 
D^DjM, Ti]u, D^Dji,..., 
D.^D,H, DyD.u, D'fff,..., 
.,...«..••-■••, 
en sorte qu'en ait, par exemple, quand les 
variables x,y, z,... se réduisent à deux, 
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BIECAIVIQUE. 
RapY'orl sur divers mémoires de M. Saint- 
Venant relatifs à la mecani(/ue raiion- 
nclle et à la méca/iique ap/.Hf/née; par 
M. Cauchy. 
L'Académie nous a chargés , MM. Pon- 
celet , Piobert, Lamé et moi, de lui rendre 
compte de plusieurs mémoires de M. de 
Saini- Venant qui ont pour but le perfec- 
tionnement de la mécanique rationnelle et 
de la mécanique appliquée. 
De ces mémoires, les deux premiers ont 
pour objet le calcul de la résistance et de 
la flexion des pièces solides à sim[de ou à 
double courbure cpiand on prend simulta- 
nément en considération les divers efforts 
auxquels elles peuvent être soumises dans 
tous les sens. 
Ces deux premiers mémoires nous ont 
paru atteindre complèteiucnt le but que 
l'auteur s'é'ait proposé, et répandre un 
nouveau jour sur les diverses questions qui 
se rattachent à la mécanique moléculaire. 
L'auteur ne s'est pas contenté d'appliquer à 
leur solution les méthodes que peut four- 
nir le calcul différentiel et intégral, en 
ayant égard, dans chaque cas, aux diverses 
dorniées que compo! te le problème ; il s'est 
encore attaché à représenter les solutions 
par des formules qui puissent être d'un 
usage facile dans la pratique , et ci donner 
une interprétation géométrique des diver- 
ses quantités qui entrent dans les formules. 
Présentons à ce sujet quelques exemples. 
L'un de nous avait remarqué depuis 
longtemps que, dans un corps solide dilaté, 
la dilatation, mesurée sur une droite pas- 
.'-ant par un point ■. n'est pas la même en 
tous sens ; et déterminé les lois suivant 
lesquelles celte dilatation, appelée par lui 
linéaire, A'ariait avec la diiection de la 
droite. A cette considération des dilata- 
tions linéaires, M. de Saint- Venant, a joint 
celle des glissements qui s'exécutent lorsque 
deux sections, comprises dans des plans 
parallèles, se déplacent l'une par rapport 
à l'autre, et du gauchissement que pré- 
sente, après le changement de forme d'une 
pièce, une section transversale faite par un 
plan perpendiculaire à l'axe de la pièce. 
Dans le calcul de la résistance qu'une 
pièce à double courbure oppose à la torsion 
et à la flexion, les géomètres s'étaient uni- 
quement occupés de la variation du rayon 
de courbure Ci des angles que les plans os- 
culateurs forment entre eux. M. de Saint- 
Venant a complété sur ce point l'analyse 
dontonavait fait usage, et il a tonucompte 
de la rotation du ra^on de courbure autour 
de l'axe de la pièce. 
On doit remarquer encore les formules 
que M. de Saint-Venant a obtenues dans 
son dernier mémoire, et qui sont relatives 
à la torsion du prisme à base losange. 
Les perfectionnements que les formules 
de M. de Saint-Venant ont apportés à la 
mécanique pratique , ainsi qu'à la mécani- 
que rationnelle , ont été tellement sentis, 
que plusieurs d'entre elles sont déjà passées 
dans renseignement, et ont été données en 
particulier dans le cours fait par notre 
confrère M. Poncelet à la Faculté des 
sciences. 
En résumé , les divers mémoires de M. 
de Saint- Venant nous paraissent justifier 
pleinement de la réputation que cet h ibile 
ingénieur , qui a toujours occupé les pre- 
miers i-angs dans les promotions à l'Ecole 
I Polytechnique , s'est acquise depuis lonj- 
