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■ lies, et les angles compris entre des lignes des 
nœuds des diver>es planètes combinées deux 
l à deux. Cel.i posé, si. comme je déjà fait 
; dans un précédent Mémoire ( voir le Comple 
rendu de la séance du 21 seplcmbre l84(» ), 
on prend pour élément du mouvement ellip- 
tique de cliaque planète l'cpoque du pa^sige 
:au périliélie, la longitude du pérdiélie, l'an- 
gle formé par un axe [\\c avec l.i lijjne des 
nœuds, le mi^ment linéaire de la vitesse, la 
projection de ce moment liné.iire sur un plan 
fixe, et la moitié du cai ré de la vitesse corres- 
pondante ■ ■■ rmst.int où hi planète passe par 
l'extrémité du petit axe, on ét.iblu'a facile- 
ment divers tiiéoièmes dont plusieurs me pa- 
raissent dignes de remarque , et dont je v.iis 
donner les énoncés en peu de mots. 
Lorsqu'on siqjpose les éléiuents du mouve- 
ment elliplique déterminés pour chaque pl.i- 
ncte par les équations ddTérentielies séculiires, 
non-seulement tous les grands, -ises demeurent 
invariable-;, mais ou peut en dire autant de la 
fonction perturbatrice, qui reste alors la même 
pour toutes les planètes. Alors aussi, en sup 
posant que l'on projette les moments linéaires 
des quantités de mouvement sur un plan fixe 
quelconque, ou obtiendra pour la somme de 
(leurs projections algébriques une quantité 
constante. En d'autres termes, le piincipe des 
aires sera vérifié rigoureusement à l'égard 
des aires décrites par les planètes autour du 
centre du soleil, et comiiiesi ce point était un 
centre fixe. En conséquence, outre les équa- 
tions nui esprimeron' l'invariabilité des 
grands .ixes, et qui seront en nomLie égal à 
' celui des planètes, on obtiendra quatre inté- 
grales géiiéiaies correspondantes aux équa- 
tions des forces vives et des aires. 
Soit maintenant n le nombre des j)lanè!es. 
Six éléments élant relatifs à chaque planète , 
le nombre total des équ itions différentiel les 
séculaires sera 6'i. Mais, d ms la recherche 
des intégrides de ces équations, on [)0urra- 
laisser de côié deux inconnues relilives à 
chaque planète, savoir : V la moitié du carré 
I de la vilessequi correspond à l'extrémité du 
petit axe, et qui reste invariable avec !e grand 
axe ; 2" l'époque du passage au périhélie qui 
n'est pas comprise dans la f mclioii perturba- 
trice. Donc le nombre total des inconnues 
pourra être réduit à 4«, et mctne à An, — 4, 
eu égard aux quatre intégrales générales dont 
nous avons parlé. Il y a plus, l un des angles 
formés par la l.gnc des nœuds avec un axe 
fixe pourra encore être éliminé, puisque les 
I différences seules entre ces angles , combinés 
deux à deux, se trouvcroiii renfermées dans 
la fonction perturbatrice. Donc le nombre des 
inconnues comprises dans les équations diffé- 
rentielles séculaires pourr.i êire réJuit à An 
—5. 
Considérons à présent le cas où toutes les 
' planètes se mouvraient dans le même plan. 
Alors, lè nombre des éléments étant réduit à 
quatre pourchaque planète, le nunibre total des 
i équations (i.ifférentielles séculaires sera 4'»- 
Mais, dans la iccherche de leurs intégrales, on 
poui-ra, comme ci dessus, laisser de côté deux 
inconnues relatives à chaque planète,savoir, les 
deux inconnues que nous avons déjà signalées. 
Doncle nomljre tulal des inconnu! s pourra être 
réduit à2n, et mêmeàSre — 2, eu égard aux. 
deux imégrales générales dont l'une corres- 
pondra aux principes des forces vives, l'au- 
j tre au principe des aires. II y a plus; l'une 
des longitudes des périhélies pourra encore 
I être éliminée, attendu que les différences 
I seides entre ces longitudes se tiouveront ren- 
fermées dans la fonction perturbatrice. Donc 
e nombre des inconnues comprises dans les 
Iquations dificrenlielles .séculaires se trouvera 
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réduit à 2 n — 5. Or le nombre 2 n — 5 sera 
précisément l'unité, si l'on a n=% Donc, on 
supposant les éliminations faites , on obtien- 
dra une éi]uation oé.initive qui reuferiueia 
seulement une inconnue et sa dérivée prise 
par lapport au temps. D'ailleurs, en vertu 
dune semblable équation, le temps pouna 
être exprimé par une intégrale définie. On 
peut dune énoncer la proposiiion suivanse : 
L'inlégralion des équations difféicnliclles 
séculaires j)eut être ramenée aux quadratuies 
pour le sysième de trois cor[)S, savoir, ilu So 
leil et de deux planètes, lorsque ce-, trois 
corps se meuvent dans un mê ue plan. 
A la vérité, le théorème i>récédent su|.ptise 
les inconnues réduites à une -eule par l'élimi- 
nation ; mais i'éliminalioi) dont i s'agit peut 
en effei s'opérera l'aide d'intégrales définies, 
de semblahles inlégrales étant propres à re- 
présenter les raciiie-> d'équations algébriques 
ou même transcendan'es, et les fonctions de 
semblables racines. 
O' servons enfin qu'eu supposant iniégiée- 
les équations différentielles séculaires, on 
pourrait avec avantage appliquer la théorie 
de la variation des constantes arbitraires aux 
nouvelles constantes introduites par celte in- 
tégration même. 
Dans lui autre article j'examinerai en par- 
ticulier, sous le rapport ài' la convergence, 
les séries que l'on obtient en fiéveloppanl , 
suivant les puissances ascendantes des excen- 
tricités, les nitégralcs relatives au problème 
de trois corps qui se meuvent dans un même 
plan; et je considérerai aii.ssi ce jui arrive 
lorsque les trois corps sont, non plus le Soleil 
et deux planètes, mais le Soleil, une planète 
et une s.itelbte tiecetle p.lanète. 
Augustin Gauguy. 
Sur l'élimination des moeuds dans li; 
pROBLiiME J)KS TEo s CORPS; par M. Jacobi. 
— « F.es illu'-ires géomètres du siècle passé, 
en tr.iitant le problème des trois corps, ont 
cherché le mouvement de deux d'entre eux 
autour du troisième ou autour du centre de 
graviié de 'ous les t. ois. it^ais , en réduisant 
de cette manière le problème de trois corps qui 
s'attirent mutuellement à un problème lie deux 
corps qui se meuvent autour d'un point fixe, 
on lait pci'dre aux équaiions difl'érenliellcs du 
proldème cette forme précieuse dont elles jouis- 
sent d.ins leur état priinilif, savoir, que les se- 
condes différenlielles des cnordonnécs srue;it 
égalées aux dérivées d'une même fonction. 
C'est par cette raison que les princpes de la 
conservation <les forces vives et des aiieî ces- 
sent d'avoir lieu par rapport aux deux coi jis. 
On pourra cependant éviter cet inconvénient 
eu /igissan! de la manière suivante. 
» Supposons, pour plus de généralité, que 
le sysième se compose de n corps, du soleii et 
de n — 1 planètes. Comme il est permis de 
supposer que son centre de gravité reste en 
repos, on aura une équaiion linéaire entre 
chacun des trois systèmes de coordoruiées du 
même nom. S^onc les 7i coordonnées parallèles 
à uu même axe pourront être exprimées lii.éai- 
' rement par n — 1 autres quantités, en élai)lis- 
s.inl n — 1 é.|uatioiis de conditions entre les 
n [n — 1) constauies qui entrent dans ces n 
expressions linéaires. Comme on peut disposer 
encore d'un nombre (n — 1)^ de constantes , 
on les déterminera de manière que dans l'ex- 
pression de la force vive du système, s'éva- 
(0-1) («-■:) 
nouisseni produits des difl'érentieHcs 
2 
premières des nouvelles variables. En se ser- 
vant de formules parfaiicment .semblables pour 
cliaque système de coordonnées du même iiom, 
ei en considérant les U'Uiveiles variables coiiiiiie 
321 
les coordonnées de n — 1 autres corps, ott 
aura rt-duit de cette manièrd la force vive 
du syslcmrdcs n corus prvpos(^s àc^lle d'un 
système de n — 1 corps, des masses conve- 
nables élant attribuées à ces derniers. l! y 
aura même dans les formules de réductiosî 
n (n-1) 
UU nombre — ■ de constantes arbitraires 
2 
et dont on (jouua profiter de ililTérentes ma 
nières. 
» D'après ce qu't^n vient de dire, le prin- 
cipe de 11 consci vation des forces vlve^ don- 
nera une équation dans Liquelle la somme des 
furces vn es des /t — 1 corps fictifs sera éga- 
lée à uiie fbncliOii de leurs coordon-iées. En 
se servant des règles générales de L;igr.mge, 
on en déduira, pur de simp'es d iférenualions 
p u'tielles, les éqiMlioiis (bfférentielles du pio- 
blème ré luit , et l'on reconnaiira aisément 
xjiie la conservation des aires a lieu dans If 
mouvement des n — 1 corps par lesquels on 
a remplacé le système proposé. Ces n — 1 corps 
ne s'é' artent d'ailleurs des n — l pl mêles que 
de petites quaniilés de l'ordre des forces pei- 
turbalrices, de manière que la première ap- 
proximation peut è re la même pour les uns 
et pour les autres. Le changement que, dan.s 
celte analyse, doit subir l'expression delà force 
perturbatrice n'anginenle pas la difficulté àe 
son développement. 
» En appliquant la méthode que je viens 
d'exposer au problème des trjis corps, on ré- 
duit celui-ci à un problème du mouvcmeni 
deux corps qui jouit de propriétés remarqua- 
bles. En effet, les trois équations fournies p.ii 
la conservai ion des aires font voir: 
» \° Que l'interseciion commune des plans 
des orbites des deux corps reste const.iinnicnt 
dans un plan fixe : c'cst ie [ilan iiivariaidc tia 
.système ; 
» 2° Que les mcliiialions des plans des deihx 
orbites à ce plan fixe et les par.imèlres de ces 
orbites reg ir lé-. comme des ellipses variabh s, 
sont quatre éléments, dont deux quelconques 
déterminent l igoureuseriK-nî les deux autres. 
En choisissant pour v.friables du problè- 
me les inclinations des deux orbites au pl.. i 
invariable, les deux rayons vecleiirs, les ap- 
gles au'ils l'nrmeiit avec l intersection co.'u- 
mune des plans des deux orbites, enfin Vm- 
gle que tonne celle intersection située, comni* 
on a vu, dans le plan invari,d)ie, avec cnW 
droiie fixe de ce plïii, on trouvera que ce der- 
nier ani^le disparaît enlièreinenl du sj-^ie- 
me des équations différentielles et se délxr- 
I mine après leur intégration pur une qua- 
drature. Donc, dans cette nouvelle forme dés 
é'piations dilférenlielles n'entre au«une îr;ie.' 
des nœuds. Les s;\ équations <lifréren!iclî< s 
du second o: die, qui expriment le mouveraeiit 
j relatif des trois corps, s'y trouvent ré luîtes ^ 
cinq équations du premier ordre et une seufif 
du second. Par suite, l'on a fait cinq intégra- 
lions. Les intégrales connues n'étant qu'au 
nombre de quatre, uti pouna donc du e que 
Ton a fait une iniégralnm de |ih.sdans le sys 
lème du monde. Je liis daiis le sysième d i 
monde, puisque 1 1 même luétiiode s'appliqn»' 
à un nombre quelconque de corps, 
METEOROLOGIE 
Sur la FonwE de quelques éclaius ; ji.u 
M. J. FouBNET. — i< Dans son beau travaM 
sur le tonnerre, M. Arago distingue quatre 
formes dilférentcs dans les émanations élect^^- 
ques des nuages, savoir : 1° les é.dairs linéai- 
res, minces, an êtés sur les bords et cheurnaBt 
en zig zag avec une énorme vitesse ; %> l«s 
éclairs diffus et couvrant de grandes surf ccv 
nuageuses; 3" les feux Circonscrits en forme 
de globes, dans lesquels la matière électriqn^ 
