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SCIENCES PHYSIQUES. 
MECANIQUE CELESTE. 
sua LA STADILITl; DE l'kQUILIBRE DES MERS ; 
PAR M. J. LIOUVILLE. 
Dès les premiers pas qii^ils ont faits dans 
l'étude de la mécanique, les géomètres et les 
physiciens ont dû distinguer deux genres d'e'- 
quilibre bien différents , l'équilibre stable ou 
ferme, et l'équilibre instable. Un système pla-. 
ce dans un état d'équilibre stable résiste aux 
perturbations provenant d'une impulsion ex- 
térieure; lorsque cette impulsion est très-pe- 
tite, le dérangement qu'elle produit reste ton- 
joui's renfermé dans d'étroites limites, Au 
contritire, dans les cas d'équilibre instable, 
tin très-petit dérangement imprimé au système 
peut s'agrandir beaucoup à la longue. Un 
pendule est dans un étjit d'équilibre stable 
lorsque la îige de ce pendule étant dirigée sui- 
vant la verticale, la masse qui le compose est 
siisj)cndue à cette tige au-dessous du point 
d'attache. En l'écartant un peu de celte posi- 
tion , on ne donnera naissance qu'à des oscil- 
lations toujours très- petites qui le porteront 
successivement des deux côtés de la verticale 
primitive. Ce même pendule est dans un état 
d'équilibre instable loi sque la tige est dirigéfè 
Terticalement , non plus vers le centre de la 
tei re , mais en sens oppose ; qu'on le déplace 
alors un tant soit peu, oni qu'on le pousse légè- 
rement , et aussitôt la pesanseur l'entraînera 
d'un mouvement accéléré vers le point le plus 
bas du cercle qu'il peut décrire. 
Mais quoiqu'il soit aisé de se faire générale- 
ment une idée nette du caractère essentiel et 
distinctif de chacun des deux génies d'équi- 
libre dont nous venons de parler, cependant il 
est, dans bien des circonstances, très-difficile 
dedéciderjsi l'équilibre d''un système donné est 
stable ou instable. Ainsi, dans la question de 
l'équilibre des mers, c'est-à-dire de l'éqiiibbre 
d^une masse liquide placée à li surface d'un 
noyau solide presque sphérique et animé d'un 
mouvement uniformedc rotation, la vraie con- 
dition de stabilité n'a été obtenue qu'après de 
longs efforts Quelques géomètres se laissèrent 
même d'abord entraîner, par un raisonnement 
vague et incomplet, dans une erreur grave. 
Ils avaient reconnu que si l'on aplatit très- 
peu la figure d'nn fluide reposant à la surface 
d'un noyau ellipt.que peu différent d'une 
sphère, ce fluide ne tend à revenir à son pre- 
mier élat que dans le cas où le rapport de sa 
densité à celle du sphéroïde est au-dessous de 
cinq tiers , et ils avaient pris cette condition 
(qui est nécessaire, mais non suffisante) pour 
celle de la slabiliiéde l'équilibre des mers. Le 
dérangement qu'ils admettaient dans leur c.il- 
culLiiss iit immobile le centre de gravité du 
fluide, et la conclusion qu'ils en tiiaient ces- 
sait d'èire exacte pour d'autres dérangements 
où l'on imprimait à ce centre une certaine vi- 
tesse. D.ms les mémoires de notre Académie 
pour l'année 1776, Laplicc reh va l'erreur 
qu'jls avaient commise ; il fît observer , avec 
raison , que l'on doit avoir égard à toutes les 
circonstances possibles du mouvement du 
fluide, et non à la force qui l'anime dans tel ou 
tel cas [)articulier. 11 faut considérer une per- 
turb.itiou très-petile quelconque, et déterminer 
Ja condition nécessaire pour que la ligure du 
fluide n'éprouve jamais que de légères altéra- 
tions. En envisageant le problème snus ce point 
de vue , Laplace reconnut l'insuffisance de la 
condition de stabilité qu'on avait indiquée. Il 
montra qu^en supposant au liquide une den- 
sité plus grande que la densité du noyau so- 
lide, mais inférieure aux cinq tiers de c( llc-ci, 
comme le veut la condition cilc'c, on pourrait,. 
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d'une infinité de manières , à l'aide d'impul- 
sions primitives très-petites, produire à la lon- 
gue une déformation considérable dans la (i 
gure de la mer. Toutefois ce résultat négatif, 
qui suffisait pour réduire au néant la théorie 
ou [)lulôt l'hypothèse admise jusque là , était 
loin de fournir la véritable condition cherchée. 
En lisant le mémoire de Laplace , on voit 
avec étonnement ce grand géomètre douter 
même qu'une telle condition existe. » 11 pa- 
« rait, dit-il, très-vraisemblable que, qucl- 
« ques hy[)olhèscs que l'on fasse sur la profon- 
« deur el la densité du fluide , il y a toujours 
« une infinité de manières de l'ébranler inli- 
» niment peu , dans lesquelles il cessera de 
« faire des oscillations infiniment petites 
« On peut même dire généralement que, dans 
« cette recherche, la considération de la stabi- 
<( lité del'équilibre est inutile, puisqu'il n'y a 
« point vraiseinjjlablemeiit d'équilibre ferme 
Il absolu, et que la stabilité est toujours rela- 
« 'ive à la nature de l'ébranlemont primitif.» 
Les progrès continuels de l'analyse rendent 
souvent accessibles au bout d'un tem[)s très- 
court des problèmes que l'on avait au premier 
aperçu regardés comme insolubles. Qiidques 
années plus tard, Laplace revint avec un entier 
succès sur celte question , que ses premiers 
essais lui avaient fait croire inabordable. 
D'heureux perfectionnements, obtenus parLe- 
gendre et par lui dans la théorie des attrac- 
tions des sphéroïdes , lui permirent tout à la 
fois de déterminer et la figure que les mers 
doivent prendre dans l'état d'équilibre , et la 
vraie condition de la stabilité de cet équilibre. 
Il est nécessaire et il sujfit que la densité 
moyenne de la terre surpasse celle de la 
mer. Cela étant, si, par une impulsion primi- 
tive quelconque, la mer est un peu écartée dé 
sa position d'équilibre, elle oscillera autour 
de cette position sans jamais s'en éloigner 
beaucoup. Les perturbations pourraient,au con- 
traire, devenir très-grandes si la condition exi- 
gée n'était pas remplie, Qu'à l'Océan actuel 
on substitue, par exemple, un Océan de mer- 
cure, et la stabilité n'aura plus lieu. 
C'est dans les mémoires de l'Académie pour 
1782 que Laplace a d'abord publié son ana- 
lyse : il l'a reproduite ensuite et généralisée 
dans la Mécanique céleste, ou il convient de 
l'étudier aujourd'hui. Dans le premier livre 
de cet immortel ouvrage , l'auteur établit les 
équations générales du mouvement des fluides, 
et leur donne une forme propre à l'objet de 
ses recherches ; puis , à l'aide de ces équa 
tiens, il obtient dans le quatrième livre la con- 
dition de stabilité que nous venons de rap- 
peler. 
Lorsque j'ai entrepris mon travail , j'avais 
d'abord pour but unique de simplifier les cal- 
culs assez longs de la Mécanique céleste; je 
crois y être parvenu. On sait que pour déci- 
der si l'équilibre d'un système est stable ou 
instable, on dojt écarter un peu ce système de 
l'état de repos, chercher la valeur de la force 
vive au bout d'un temps quelconque, et voir 
si elle deviendrait un maximumen supposant 
qne le système ainsi mis en mouvement tra- 
versât de nouveau la position d'équilibre. Or, 
j'ai obtenu une expression aussi simple que 
possible de cette force vive , non-seulement 
dans le cas (auquel Laplace s'est arrête) d'un 
liquide placé silr un noyau solide presque 
sphérique , maU pour un noyau de forme 
quelconque et m^me pour un système entière- 
ment liquide. Toitci\us, danslecas d'un noyau 
solide, je snppos avec Laphu c la masse de ce 
noyau très-consilérablc par rapport à celle du 
liquide qu'il su|);wrte , en sorte que, malgré 
les oscillations eui ont lieu à sa surface. Je 
mouvement de iptation du noyau puisse être 
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regardé comme se conservant uniforme. Cette 
hypothèse est, du reste, la seule que jeme sois 
permise; et la marche de mes calculs paraîtra, 
je crois, claire et précise, l'eu l-ctrc jugera-t- 
on qii'elleest exempte des légers défauts qu'on 
peut reprocher à la Mécanique céleste, où 
dans chaque transformation des équations ou 
néglige quelque quantité , et où l'on se ren- 
ferme d'ailleurs inulilemenl dans des hypo- 
thèses beaucoup trop particulières. Je me ha* 
sardai même à dire que certaines intégra tioni 
par parties semblent dans ce grand ouvrage 
manquer delà rigueur nécessaire, cequi. dit 
reste, n'influe pas, je m'empresse d'èn conve- 
nir, sur l'exactitude du résultat final. 
Ce résultat, ipie d'autres géomètres avaient 
déjà confirmé, je l'ai retrouvé aussi dans mon 
mémoire, à l'aide de deux méthodes très-dif- 
férentes. La première de ces méthodes repose, 
comme celle de Laplace , sur un certain dé- 
veloppement en série dont on fait sans cesse 
usage dans la théorie des attractions des sphé- 
roïdes ; la seconde, indépendante de ce genre 
de développements, est fondée sur une consi- 
dération singulière de minimum , et paraît 
susceptible d'une grande extension. Elles con- 
duisent toutes deux assez rapidement au théo- 
rème de Laplace, et à cette condition, néces- 
saire et suffisante pour la stabilité, que la den- 
sité des mers reste inférieure à la densité 
moyenne de la terre. 
Mais cette conclusion suppose à la terre une 
forme sensiblement sphérique. Que serait-il 
arrivé si Taplatissement avait été beaucoup 
plus considérable? Et, en passant de là à une 
autre question , liée intimement à la précé- 
dente, qu'arriverait-il à une masse bquide, 
homogène, douée d'une quelconque des formes 
ellipsoïdales d'équilibre , à deux ou même à 
trois axes inégaux? Ces questions intéressantes, 
et qui me semblent entièrement neuves, je les 
ai aussi traitées ; mais l'exi osition de mes re- 
cherches exigerait de longs développements, 
que je remets à une autre séance pour ne pas 
abuser des moments de l'Académie. Ton.tpfois, 
je dirai , dès à présent, que j'ai dû avoir re- 
cours à certaines fonctions heureusement in- 
troduites en analyse parM.Lamé,à l'occasion 
d'un problème relatif au mouvement de h 
chaleur. En complétantà quelques égards, k 
formi-les de cet habile géomètre, et aussi a 
les combinant avecd'autres formules qui m'ap- 
partiennent, j'ai réussi, en quelque sorte, à 
ajouter un nouveau chapitre à la Mécaniq 
céleste. Si l'Académie me permet d'entrer, 
jour, à ce sujet dans quelques détails, on verra 
tout te que je doisàM. Lamé, et combien était 
juste et méritée l'épithète dont M. Jacobis est 
servi en parlant de notre savant compatriote, 
quand il l'a qualifié un des mathémaiicicn! 
les plus pénétrants. 
SCIENCES NATURELLES. 
NOTE SUR LA PEOFOKDEUK A LAQUELLE Ll 
SONDAGE DE nAOCj^NAV I'ARAÎt DEVOIR AT 
TEIKDRE L^'E NAPÏE d'eAU JAILL1SSA>TE 
FAR M. DAL'BRÉE. 
<( La structure d'un pays ayant été étudié 
avec soin, il est en général assez simple de 9 
représenter la disposition des nappes d ci 
souterraines qu'il doit receler, et de prcvoi 
même à quelle profondeur on doit alh i le 
chercher, i^iais peu de pays présentent ii 
morcellement de terrains tel que celui que l'o 
observe le long de la falaise orientale d( 
Vosges, ou dans les collines de l'Alsace. L 
terrains compris entre les deux chaînes di if^i,,^ 
Vosges et de la Foi êl-Noire ont été ployés Mey 
brises de la manière la plus irrégulière , p w*»-"- 
