L'ÉCnO DU MO?IDE"SAVA!VT. 
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BTJTMt^' llf iim i Si 
nous appartienne guère de parler avantageusement d'aucun 
de nous. 
Deux articles de M. Desnoyers devaient être ajoutés à cet 
Annuaire; mais les circonstances nous forcent de réserver 
ce double travail pour l'année i84o. Enfin, si le lecteur par- 
court des yeux la liste de nos confrères, imprimée au com- 
mencement du volume, il aura la satisfaction de voir leur 
nombre augmenter dans une progression remarquable, et ce 
sera pour eux un nouveau sujet de confiance dans l'avenir 
de notre Société, encouragée par la bienveillance de M. le 
ministre de l'instruction publique. 
COURS SGIEMTm^UES- 
COURS DE MÉCANIQUE PUYSiQUE Eï EXPÉRIMENTALE. 
M. PoKCELET. (A la Faculté des scicuces. } 
ai" analyse. 
Des relations qui existent entre la force cl la 'vitesse. 
Nous avons admis, et l'expérience le confirme, que les forces 
agissent sur les corps en mouvement comme elles agiraient sur 
ces mêmes corps en repos. C'est en vertu de ce principe, par 
exemple, qu'un projectile se meuidans le sens horizontal comme 
s'il n'obéissait qu'à la compoï,anle horizontale de sa vitesse ini- 
tiale, et, dans le sens vertical, comme s'il n'obéissait qu'à la 
composante verticale de cette même vitesse et à l'aciion de la 
gravité, d'oii résulte pour ce projectile un mouvement parabo- 
lique, en faisant abstraction de la résistance de l'air. 
Galilée est le premier qui ail entrevu cette indépendance des 
forces appliquées à un corps, et de la vitesse préexistante chez 
ce corps. 
C'est de ce principe que résulte la proportionnalité entre les 
forces et les vitesses qu'elles impriment à un même corps dans 
un même espace de temps infiniment petit. 
Ilrésulte de cette proportionnalité, que si une force motrice est 
appliquée à un corps pesant, cette furce sera au poids du corps 
comme l'élément de vitesse dû à cette force, pendant l'élément 
de temps, est à l'élément de vitesse dû à ce poids. Or, ce dernier, 
en vertu des lois de la gravité, équivaut à l'élément de temps 
multiplié par la quantité g- j il s'ensuit que la force motrice 
équivaut au rapport entre le poids et la quantité g, multiplié 
par le rapport entre l'élément de vitesse dii à la force et l'élé- 
ment de temps. Mais le rapport entre le poids et la quantité g 
est ce que nous avons appelé la masse; ou peut donc dire que 
la force motrice équivaut à la niasse multipliée par le rapport 
entre l'élément de vitesse et l'élément de temps. 
Ce rapport sera facile à obtenir lorsqu'on couuaîlra la loi qui 
lie la vitesse au temps, c'est-à-dire la loi du mouvement du 
corps. Car si l'on prend des abscisses proportionnelles aux temps 
et des ordonnées proportionnelles aux vitesses, et qu'on trace 
la courbe correspondante, ce rapportsera précisément celui qui 
existe entre l'accroissement de l'ordonnée et l'accroissement de 
l'abscisse, c'est-à-Jire la tangente trigononiétrique de l'angle que 
fait avec l'axe des abscisses la tangente menée à la courbe par 
l'extrémité de l'ordonnée correspondante au temps que l'on 
considère. 
Il est facile de voir également que ce rapport entre l'accrois- 
sement de vitesse dii à la force motrice, et l'élément de temps, 
est égal à l'accroissement de vitesse qu'acquerrait le mobile au 
bout de l'unité de temps si la force motrice devenait constante 
à partir de l'instant que l'on considère. C'est ce qui résulte de la 
construction même que nous venons d'indiquer; car dans ce 
cas la vitesse venant à croître d'une manière uniforme, la 
courbe, à partir de l'ordonnée correspondante au temps que l'on 
considère, suivrait la direction de sa tangente à l'extrémité de 
cette ordonnée, et le rappoiteutre l'accroissement de l'ordonnée 
et l'accroissement de l'abscisse devenant constant, on en déduit, 
par la propriété des triangles semblables, la relation que nous 
venons d'énoncer. 
Les relations que nous venons d'établir entre la force et la 
vitesse permettent également de déterminer la loi du mouve- 
ment lorsque la force est donnée en fonction du temps, c'est à- 
dire lorsque l'on sait comment elle varie par rapfiort au temps, 
et lorsipi'on connaît en outre la vitesse initiale du niobde. Sup- 
posons, en ellét, que l'on ait porté sur un axe horizontal des 
abscisses proportionnelles aux iemps, et qu'on ait élevé une 
première oidoimee proportionnelle à la vitesse initiale. jNous 
venons de voir que la force est égale au produit de la masse du 
mobile par la vitesse qu'elle lui imprimerait dans l'unité de 
temps si cette force devenait constante à partir de l'instant que 
l'ou cousidère; il en résulte qu'on divisant la force par la masse, 
on aura la vitesse dont nous parlons. IMais nous avons fait 
remarquer aussi que cette même vitesse est précisément la 
tangente trigononiétrique de l'angle que fait avec l'axe des 
abscisses la tangente menée à la courbe par l'extrémité de l'or- 
donnée correspondante au temps que l'on considère. On connaît 
donc, d'après ce que nous venons de dire, la direction de cette 
tangente; et si l'on élève une ordonnée très- voisine de la pre- 
mière, le point où elle rencontre cette tangente pourra être con- 
sidéré comme appartenant à la courbe qui représente la loi du 
mouvement. En raisonnant et en opérant d'une manière ana- 
logue, on se procurera autant de points que l'on voudra de celte 
courbe, et les vitesses se trouveront déterminées en fonction du 
temps, avec une approximation d'autant plus grande que les 
ordonnées auront été plus rapprochées. 
Quelquefois la force est donnée en fonclion de l'espace par- 
couru par le mobile ; on peut encore dans ce cas déterminer la 
loi du mouvement par des opérations géométriques analogues 
à celles dont nous venons de parler. En ellèt, l'élément d'espace 
équivaut à la vitesse multipliée par l'élément de temps ; il est 
donc représenté, dans hi courbe qui donne la loi du mouvement^ 
par le produit de l'ordondée et de l'élément d'abscisse, ou, ce 
qui revient au même, par l'air de la portion de courbe comprise 
entre deux ordonnées infiniment voisines. L'espace parcouru 
dans un temps donné est donc représenté pir l'aiie de la por- 
tion de courbe comprise entre l'ordonnée qui correspond à 
l'origine du temps et celle qui correspond au temps que l'on 
considère. On connaît la première ordonnée, on connaît l'in- 
tensité de la force à cet instant, et par conséquent aussi la di- 
reciion de la tangente à la courbe à l'txlremilé de cette pre- 
mière ordonnée; on connaît, eu outre, l'esi^ace parcouru qui 
correspond à cette intensité, c'est-à-dire l'aire du trapèze com- 
j)ris entre la première ordonnée et la seconde. Il ne reste donc 
qu'à déterminer l'abscisse de manière que le trapèze correspon- 
dant ait précisément cette aire, ce c^ui est un problème de géo- 
métrie fort simple. L'abscisse étant déterminée, l'ordonnée 
élevée à l'extrémité de cette abscisse rencontrera encore la tan- 
gente en un point qui pourra être considéré comme appartenant 
à la courbe. En continuani ainsi de proche en proche, cette 
courbe sera déterminée, c'est-à-dire que l'on connaîtra la loi 
du mouvement. 
Du pria ipe des forces viç'es . 
Nous avons vu que dans le cas d'un mobile soumis seulement 
à l'action de la gravité, le travail de la pesanteur équivaut à la 
moitié de la force vive. Nous allons chercher la relation qui lie 
en général le travail développé par une force dans le sens de 
la direction propre, et la force vive imprimée au mobile. 
L'élément de travail développé par une force est le produit 
de cette force par l'élément de chemin parcouru. Nous avons 
fait voir que la force équivaut à la masse multipliée par l'élé- 
ment de vitesse et divisée par l'élément de temps. D'un autre 
côté, l'élément de chemin est le produit de la vitesse par l'élé- 
ment de temps. De ces trois relations il résulte que l'élément 
de travail équivaut au produit de la masse par l'élément de 
vitesse et par cette vitesse elle-même. Le travail total, au bout 
d'un temps quelconque, est égal à la somme de tous les pro- 
duits semblables, c'est-à-dire à la niasse multipliée par la somme 
des produits qu'on obtient en multipliant l'élément de viiesse 
par les dilférentes valeurs de cette vitesse. Pour apprécier cette 
somme, imaginons cjue l'on porte sur un axe horizontal une 
suite de petites distances égales représentantrélémenl de vitesse, 
et qu'on élève parles points de division des ordonnées successi- 
vement égales à une fois, deux lois, trois fois, quatre fois, etc., cet 
élément : les extrémités de ces ordonnées se trouveront sur une 
même droite inclinée de 4^° sur l'axe des abscisses. Cette droite, 
l'axe, et la dernière ordonnée, représentant la vitesse finale du 
mobile, détermineront un triangle isocèle rectangle dont l'ane 
représentera précisément la somme que nous cheiehons. Oi . 
cette aire est la moitié de celle du carré de la dernière ordon- 
née, à cause de la nature même du triangle isocèle rectangle. 
La somme cherchée équivaut donc à la moitié du carré de la 
vitesse finale. 
11 résulte de ce qui précède que le travail développé par lu 
force équivaut au produit de l,i masse par la moitié du carré de 
la vitesse, c'est-à-dire à la moi lie de la force vive, comme cela 
a lieu pour la pesanteur. 
Si à l'origine du temps le mobile était animé d'une certaine 
vitesse initiale, il est facile de voir que le travail en question 
serait égal à la moitié de la dilVércnce entre la force vive linalu 
et la force vive initiale, soit que le mouvement s'accélère ou 
qu'il se ralentisse. 
i'ouf la rigueur des raisouucmeuis sur lesquels nous venons 
