L l^CnO DU MOXDE SAVANT. 
la masse multipliée par l'élément de vitesse verticale et divisée 
{)ar l'élément de temps ; ou bien, que la masse multipliée par 
'élément de vitesse verticale, c'est-à-dire la quantité de mou- 
vement estimé dans le sens vertical, équivaut à l'élément de 
temps multiplié par la projection verticale de la résultante de 
toutes les forces qui agissent sur cette masse. 
Si l'on fait la somme de tous les produits semblables, et 
qu'on observe que la somme algébrique des projections verti- 
cales des résultantes partielles est égale à la projection verticale 
de la résultante totale des forces du système supposées trans- 
portées en un même point, on verra que la somme totale des 
quantités de mouvement, estimées dans le sens vertical, équi- 
vaut à l'élément de temps multiplié par la projection verticale 
de la résultante générale des forces du système. 
Mais si l'on transportait toutes les forces du svstème, parallè- 
lement à elles-mêmes, au centre de gravité de ce système, et 
que l'on supposât toutes 'les masses concentrées en ce point, la 
résultante générale serait égale à la masse totale, multipliée 
par l'élément de vitesse du centre de gravité, et divisée par 
l'élément de temps ; d'où il suit que cette résultante, multipliée 
par l'élément de temps, équivaut au produit de la masse totale 
et de l'élément de vitesse du centre de gravité, ou, en d'autres 
termes, à la quantité de mouvement de ce centre de gravité, en 
supposant toujours que toutes les masses y soient concentrées. 
Il en résulte que la projection verticale de cette résultante, mul- 
tipliée par l'élément de temps, équivaut à la quantité de mou- 
vement du centre de gravité estimée dans le sens vertical. 
Si l'on rapproche cette conclusion de la précédente, on voit 
que la quantité de mouvement de la masse totale concentrée au 
centre de gravité, estimée suivant la verticale, est égale à la 
somme algébrique des quantités de mouvement des masses 
partielles, estimées dans la même direction. Et comme on en 
pourrait dire autant pour une direction quelconque, il s'ensuit 
que le mowemenl du centre de grai'ilé est le mené que si toutes les 
masses et toutes les forces y étaient réunies. 
On trouve un grand nombre d'applications immédiates de ce 
principe. 
Dans les machines à réaction, par exemple, qui sont mises en 
mouvement par l'écoulement d'un liquide dans une direction 
horizontale, comme le système n'est soumis à aucune force ho- 
rizontale, le centre de gravité de ce système ne peut prendre 
aucun mouvement perpendiculaire à la verticale. I^Iais, puisque 
par l'écoulement du liquide il y a une certaine quantité de 
mouvement produite dans le sens horizontal, il faut bien, pour 
que le centre de gravité reste dans la verticale, que la machine 
prenne elle-même une certaine quantité de mouvement en sens 
contraire de l'écoulement du liquide. 
Ces machines sont peu employées, parce qu'elles exigent 
une quaniité de mouvement trop considérable pour produire 
quelque effet utile. 
Le principe dont nous nous occupons sert encore à évaluer la 
vitesse des corps mous après le choc. Le système n'étant soumis 
dans ce cas à aucune force extérieure, le centre de gravité doitse 
mouvoir en ligne droite ; et sa vitesse est précisément celle que 
prendront les deux masses choquées lorsqu'elles se trouveront 
après le choc animées d'une vitesse commune. Cette vitesse, 
multipliée par la masse totale, doit donc donner une quantité 
de mouvement égale à la somme algébrique des quantités de 
mouvement avant le choc. Pour obtenir la vitesse aj>rès le choc, 
il suffit donc de faire la somme algébrique des quantités de 
mouvement avant le choc, et Ùj la diviser par la somme des 
masses. 
Nous allons maintenant étendre le principe des forces vives 
au cas où il s'agit d'un mouvement quelconque. 
Chacune des masses du système, décrivant une courbe quel- 
conque, peut être considérée comme soumise à deux forces; 
l'une normale à la courbe, et qu'on nomme force centripète, est 
détruite par la composante de l'inertie suivant la direction de 
la normale, qu'on nomme force centrifuge; l'autre, tangeutielle 
à la courbe, obtient tout son elïét. 
Le travail développé par cette force équivaut, ainsi que nous 
l'avons vu, à la moitié de la force vive, ou plutôt à la moitié de 
1 accroissement de la force vive. Si l'on fait la soinine de tous 
les produits analogues, on verra que la somme totale des quan- 
tités de travail développées équivaut à la moitié de la somme 
des accroissements des forces vives. Or, la somme totale des 
quantités de travail, c'est le travail total, d'après ce que nous 
avons dit de la transmission du travail dynamique. 11 suit de 
là que le travail total est égal à la moitié de la sonrif drs arcroi^- 
scments de force vii'e. 
^ Nous avons vu comment on mesure la force vive dans le cas 
d'un mouvement rectiligne ; il nous reste à montrer comment 
on la mesure dans le cas d'iui mouyeuieat circulaire. 
oaa— — ji— 
D'après le théorème de Chasles que nous avons cité précé- 
demment, le mouvement le plus général qu'un corps puisse 
prendre pendant un temps infiniment petit, est un mouvement 
de rotation autour d'un axe instantané, et de translation paral- 
lèlement à cet axe. Si l'on décompose la vitesse effective de l'une 
des masses du système en deux autres, l'une parallèle à l'axe 
instantané de rotation, l'autre perpendiculaire à la première, 
et située par conséquent dans un plan perpendiculaire à l'axe 
instantané; la première de ces composantes sera la vitesse de 
translation de la masse que l'on considère, et la seconde sera sa 
vitesse de rotation. D'après la nature de la décomposition, le 
carré de la vitesse effective sera la somme des carrés de ses 
composantes ; et, en multipliant chacune d'elles par la masse, 
on verra que la force vive totale, relative à cette masse, est la 
somme de la force vive de translation et de la force vive de ro- 
tation. Si l'on opère de même pour toutes les masses du sys- 
tème, la somme totale des forces vives effectives sera la somme 
des forces vives de translation et des forces vives de rotation. 
Or, dans le mouvement de translation, nous savons calculer 
la somme des forces vives; il reste à faire le même calcul pour 
le mouvement de rotation. 
Nous avons vu que la vitesse de rotation à une distance quel- 
conque de l'axe est le produit de cette distance par la vitesse 
angulaire (ou par la vitesse à l'unité de dislance). Il résulte de 
là que si l'on fait la somme des forces vives de rotation, le carré 
de la vitesse angulaire sera un facteur commun à tous les ter- 
mes; l'autre facteur sera la somme des produits de chaque 
masse par la distance de son centre de gravité à l'axe de rota- 
tion. Cette somme a reçu le nom de moment d'inertie. 
Lorsqu'il s'agit d'un système homogène, le rapport de la den- 
sité commune à la quantité g devient facteur commun à tous 
les termes du mouvement d'inertie, et le facteur restant, c'est- 
à-dire la somme des produits de chaque volume par le carré de 
la distance de son centre de gravité à l'axe de rotation, est une 
quantité purement géométrique, que l'on peut calculer comme 
nous le verrons bientôt. 
Lorsqu'un système est assujetti à tourner effectivement au- 
tour d'un axe fixe, les composantes suivant cet a\e de toutes 
les forces qui agissent sur le système peuvent être négligées, 
car elles ne tendent qu'à produire un mouvementde glissement 
le long de cet axe, ce qui ne peut avoir lieu dans la plupart des 
systèmes ordinaires. Il suffit donc de s'occuper des composantes 
situées dans des plans perpendiculaires à cet axe. 
Dans ce cas le travail développé est toujours égal à la moitié 
de l'accroissement (ou de la diminution) des forces vives; mais 
ici cet accroissement (ou cette diminution) équivaut à la d iffé- 
rence entre les carrés des vitesses angulaires finale et initiale, 
multipliée par le moment d'inertie. 
Quand on sait calculer directement le travail, et que l'on con- 
naît la vitesse initiale, on peut, au moyen de la relation précé- 
dente, calculer la vitesse à un instant quelconque. Supposons, 
par exemple, qu'il s'agisse d'un système de roues solidaires, 
mises en mouvement par un poids suspendu à une corde qui 
s'enroule sur leur arbre commun. Le travail développé sera le 
produit du poids par la hauteur verticale dont il est descendu 
au bout du temps que l'on considère, si la vitesse initiale est 
nulle, le double de ce travail divisé parle moment d'inertie, sera 
égal au carré de la vitesse angulaire au moment que l'on con- 
sidère. On voit, d'après cette relation, que le carré de la vitesse 
est proportionnel au chemin vertical parcouru par le poids ; 
mais ce chemin est lui-même proportionnel au carré du temps, 
d'après les lois de la chute des corps ; donc la vitesse angulaire 
est proportionnelle au temps, c'est-à-dire que le mouvement 
de rotation est uniformément accéléré, comme le mouvement 
vertical du poids. 
Dans cet exemple nous avons supposé tacitement que le 
centre de gravité de chaque roue coïncidait avec l'axe de rota- 
tion ; si l'une des roues n'était pas centrée, il faudrait, dans 
le calcul du moment d'inertie, faire entrer le produit de la 
masse de cette roue i)ar le carré de la distance de son centre tle 
gravité à l'axe de rotation. 
On aurait aussi i tenir compte du poids de la ce rde et de son 
moment d'inertie ; mais ces quantités sont ordinairement né- 
gligeables par rapport aux auues. 
UISTOIRE DU GOUVEUNEMEiNT FRA.NÇ.\KS. 
l'oRCKLKT, ( A l'Ecole de Droit. ) 
09'° analyse. 
La liberté des colons était sous certains rapports si bornct, 
qu'elle avait beaucoup d'analogie avec l'esclavage. Cette analogie 
est signalée expressémcul dans plusieurs textes. Ils sont appelés 
