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H.  ONNEN.  NOTES  CONCERNANT  LA  THÉORIE  DES 
prend  le  rayon  de  courbure  lorsqu’on  a ou  - c’est- 
à-dire  u — n.  Cette  valeur  est  positive  ou  négative  selon  qu’on 
a A;  ^ 1 ; de  sorte  que  dans  les  bypocycloïdes  extérieures  (fig.  10 
à 13)  les  sommets  extrêmes  sont  toujours  tournés  vers  le  point 
de  contact  par  les  côtés  concaves,  dans  les  bypocycloïdes  inté- 
rieures (fig.  14,  et  15a)  par  les  côtés  convexes. 
Chaque  fois  que  ^ augmenté  de  2n^  les  mêmes 
valeurs  de  q se  reproduisent.  La  série  des  valeurs  que  o prend 
entre  w=:4n7r  et  u ■=:  4:  {n  -\-  \)  n constitue  une  'période  de  la 
-courbe  périodique  (voir  Niemv  Archief  voor  Wislcunde  10). 
A la  vérité,  la  forme  de  la  courbe  entre  u — 2ti  u 4n 
est  exactement  la  même  qu’entre  w = 0 et  u — 2 n]  mais , lors 
du  passage  de  la  première  moitié  de  la  période  à la  seconde , 
le  rayon  de  courbure  change  de  signe;  les  deux  moitiés  sont 
bien  égales  géométriquement , mais  non  algébriquement.  Le  nombre 
des-  points  de  rebroussement  que  la  courbe  a formés  après  une 
certaine  valeur  de  v ou  de  %v  dépend  donc  de  la  durée  d’une 
demi-période.  Or,  après  la  première  demi-période,  les  valeurs 
sont  devenues 
u — ® = - .27r  = 2i7r,  w = i^Zli.2  7r=:(2fc— 1)7T, 
h 2b  V 7 ) 
et  en  général,  après  la  n^^^^  demi-période, 
U = n . 2 7T  ^ V = n . 2 le  71 J w = n . {2  Je  — 1)7t. 
H peut  maintenant  se  présenter  deux  cas,  celui  où  une  demi- 
période  postérieure  vient  coïncider  avec  la  première,  et  celui  où 
jamais  deux  périodes  ne  se  recouvrent.  Pour  que  le  premier  cas 
se  produise,  c’est-à-dire  pour  que  la  courbe  soit  fermée  après  n 
périodes , il  faut  que  v devienne  égal  à un  nombre  entier  de  fois 
2 TT  ; il  faut  donc  que  n puisse  être  choisi  de  façon  que  nJe  soit 
un  nombre  entier.  Si  Je  lui-même  est  un  nombre  entier , en  d’autres 
termes , si  a est  un  multiple  de  6 , la  seconde  demi-période  tom- 
