ÉQUATIONS  ESSENTIELLES  DES  COURBES  PLANES. 
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bera  déjà  sur  la  première,  et  il  en  sera  de  même  de  toutes 
les  suivantes  ; la  courbe  ne  présente  alors  qu’une  demi-période , 
et  par  conséquent  ne  possède  aussi  qu’un  seul  point  de  rebrous- 
sement et  un  seul  sommet,  tandis  que  le  cercle  directeur  est 
parcouru  h fois,  et  que  la  tangente  à l’hypocycloïde  tourne 
{2  k — 1)  fois  de  180°.  Si,  au  contraire,  k est  égal  à la  fraction 
irréductible  la  courbe  ne  se  fermera  qu’après  n = ^ demi- 
périodes,  et  par  suite  offrira  aussi  un  pareil  nombre  de  points 
de  rebroussement  et  de  sommets. 
Le  second  cas,  celui  où  jamais  deux  périodes  ne  se  recou- 
vrent, se  présente  lorsque  k est  un  rapport  incommensurable. 
A l’instant  où  une  bypocycloïde  ordinaire  se  ferme,  la  droite 
des  points  générateurs  reprend  la  position  qu’elle  occupait  à 
l’origine  du  mouvement;  au  même  instant  se  ferment  donc  aussi 
toutes  les  hypocycloïdes  allongées  et  raccourcies. 
Les  développées  des  hypocycloïdes  ordinaires  s’obtiennent  en 
différentiant  l’équation  (29)  par  rapport  à attendu  qu’en 
général  est  le  rayon  de  courbure  de  la  développée 
dw 
d’une  courbe.  On  trouve 
4:hk{k—l) 
Q-l  — - - ^ —^COS 
V2A:~1  / 
{2  k—  ly 
ou , en  faisant  tourner  la  direction  principale  de  manière  qu’on  ait 
1 , 1 
W 4r  n — 
2k—  1 
4:h  k{k  — 1)  . 
o_i  = -i_ Lsin 
^ {2k— ly 
2k— \ 
On  voit  que  la  développée  d’une  bypocycloïde  ordinaire  est 
elle-même  une  bypocycloïde  ordinaire,  semblable  à la  première,, 
mais  de  dimensions  {2  k — 1)  fois  plus  petites. 
Réciproquement,  on  trouve  par  intégration  le  rayon  de  cour- 
bure de  la  développante  d’une  bypocycloïde  ordinaire.  En  le 
désignant  par  on  a 
