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H.  ONNEN.  NOTES  CONCERNANT  LA  THÉORIE  DES 
Q^  — C — 4ihk  {k — 1)  cos  f 
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Cette  courbe,  naturellement,  sera  de  nouveau  une  hypocy- 
cloïde  si  l’on  prend  0 = 0,  c’est-à-dire , si  le  développement 
commence  à un  sommet.  Mais  si  on  opère  le  développement  à 
partir  d’un  point  de  rebroussement,  on  a =0  pour  wz=:0, 
et  l’équation  de  la  développante  devient 
O,  = Sb  k (k  — 1)  ( î • 
^ ^ ^ V2(2^  - 1)  / 
Cette  équation  montre  que  les  courbes  en  question  ne  peuvent 
avoir  ni  points  de  rebroussement,  ni  points  d’inflexion,  attendu 
que  Q , ne  change  de  signe  pour  aucune  valeur  de  w.  Elles  ne 
possèdent  que  des  sommets,  à savoir,  pour 
w = n TT  J ce  qui  donne  ç , = 0 ; 
et  w = {n {2k  — 1)7t,  „ „ „ Q^=^hk{k — 1). 
Il  existe  une  valeur  de  k pour  laquelle  ces  derniers  sommets 
passent  tous  par  un  même  point , qui  ne  saurait  être  aucun  autre 
que  le  centre  du  cercle  directeur.  Ce  cas  ne  peut  donc  se  pré- 
senter que  pour  les  hypocycloïdes  intérieures;  S bk  {\ — k)  est 
alors  la  valeur  absolue  du  rayon  de  courbure  ^ j , et  cette  valeur 
doit  être  égale  à b»  En  résolvant  l’équation 
Skb{\—k)  = h, 
on  trouve  A:  = J-  (2  + V^2) , 
et  par  suite  a = i (1  ± \ 1^2)  6. 
Ces  deux  valeurs  de  a fournissent  la  même  hypocycloïde , 
attendu  que  leur  somme  est  égale  à 6.  Cette  hypocycloïde  est 
tracée  dans  la  fig.  6,  où  l’on  a pris  az=z\{\  |l^2)6,  et 
où  la  ligne  pointillée  extérieure  représente  la  dévelop])ée , la  ligne 
pointillée  intérieure  la  dévelo]opante  de  l’hypocycloïde.  Les  courbes 
ne  sont  pas  fermées,  car  k est  incommensurable. 
C’est  ici  le  lieu  de  démontrer  que  Venveloppe  des  differentes 
positions  que  la  droite  des  points  générateurs  prend  pendant  le 
mouvement  du  cercle  générateur  est  une  hypocycloïde  ordinaire. 
