ÉQUATIONS  ESSENTIELLES  DES  COURBES  PLANES.  51 
Mais  le  facteur  fi  détermine  exclusivement  la  forme  de  la  courbe , 
la  constante  m n’a  d’influence  que  sur  la  dimension.  S’il  n’est  donc 
satisfait  qu’à  la  première  de  ces  deux  conditions , on  obtient  une 
hypocycloïde  semblable  à la  courbe  (31);  s’il  est  satisfait  en 
outre  à la  seconde  condition,  l’hypocycloïde  sera  congruente  à 
cette  courbe.  Or,  dans  l’équation  (4),  on  a 
b . a(2b  — a) 
fl  et  w = . 
a — b a — b 
Nous  trouvons  donc,  en  premier  lieu, 
^ i ^ 
2b^  b ' 
Par  conséquent , si  dans  la  fig.  7 , sur  le  même  cercle  direc- 
teur roule  un  cercle  générateur  dont  le  rayon  est  égal  à 
^ A G , celui-ci  produit  une  hypocycloïde  ordinaire , semblable 
à la  courbe  à laquelle  P G est  toujours  tangente.  Yeut-on  avoir 
l’hypocycloïde  qui  est  égale  à cette  courbe,  alors  le  rayon  du 
cercle^  directeur  n’est  plus  arbitraire,  mais  égal  à 
m fl 
après  substitution  des  valeurs  de  ^ et  w,  on  trouve,  toutefois, 
b'z=—b, 
ce  qui  indique  que  le  rayon  b'  du  cercle  directeur  doit  avoir 
la  même  longueur  que  A G' . L’hypocycloïde  qui  vient  d’être 
décrite  se  trouve  donc  être  égale  et  semblable  à la  courbe  (30). 
L’état  négatif  de  b'  , et  par  conséquent  aussi  — puisque  k' 
est  positif  — de  a'  , n’a  rapport  ni  à la  forme,  ni  à la  gran- 
deur, mais  seulement  à la  situation.,  qui  naturellement  n’a  pas 
d’influence  sur  le  résultat  obtenu. 
Gomme  deux  cercles  générateurs  dont  la  somme  des  rayons 
est  égale  au  rayon  du  cercle  directeur  décrivent  la  même  hypo- 
cycloïde , on  peut  tout  aussi  bien  prendre  a!  égal  à b — \ a. 
Or , on  peut  avoir  b — ^ a = a , ou 
a zzi  h ; 
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