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H.  OXXEN.  NOTES  CONCERNANT  LA  THÉORIE  DES 
dans  ce  cas  particulier,  le  cercle  générateur  et  la  droite  des 
points  générateurs  fourniront  les  mêmes  hypocycloïdes  ordinaires. 
On  voit  la  réalisation  de  ce  cas  dans  la  fig.  15a,  où  la  courbe 
Aj)  A.-i  est  l’enveloppe  de  la  droite  PC;  et  cette  enveloppe  est 
égale  et  semblable  à l’hypocycloïde  ordinaire  décrite  par  le  cercle 
K.  Mais  les  deux  courbes  sont  situées  aux  deux  côtés  opposés 
de  la  droite  A g C' . 
3.  = + , suivant  qu’on  s.  a ^ h.  L’équation  de  ces 
a — b ^ 
hypocycloïdes  allongées , décrites  dans  les  fig.  9 à 1 7 par  le  point 
P„,  est 
\/  + 2a  (a  — 6)  (1  + cos  «)* 
(a  — b)  {2  a — b)  (1  T cos  u) 
Pour  cos  U — on  a O X , ce  qui  arrive  donc  dans  les 
hypocycycloïdes  extérieures  pour  <«  = 0 , dans  les  hypocycloïdes 
intérieures  pour  u =.  rr.  Cette  valeur  de  o provient  de  la  coïnci- 
dence du  point  d’inflexion  avec  le  sommet  initial  ou  avec  le 
sommet  terminal.  La  forme  de  sommet  est  conservée  dans  ce 
cas,  ainsi  qu’il  résulte  déjà  de  la  considération  géométrique; 
d’ailleurs,  la  formule  algébrique  montre  que  o ne  change  pas 
de  signe  en  passant  par  x . 
Si  a est  > hb{\/  3 -h  1),  P g forme,  comme  nous  l’avons  déjà 
vu,  un  sommet  intermédiaire,  dans  lequel  le  rayon  de  courbure 
atteint  un  minimum.  Si  a est  < t ^ (\/  ^ H-  1)?  le  rayon  de 
courbure  continue  à décroître  jusqu’au  sommet  final. 
4.  /)  = + ^ ~9  ^ ’ suivant  qu’on  a a ^ 2 b.  L’équation  de 
ces  hypocycloïdes  allongées , décrites  dans  les  figures  par  le  point 
Qo» 
^ ^ a {a  — b)  \/9  -h  2 («  — 2 ô)  («  -h  ô)  (1  -f-  cos  u)  ^ 
{a  — 2b)  {2a  — b)  ‘ 3 -h  («  — 2 b)  {a  -h  ô)  (1  ip:  cos  u)  ’ 
où  les  signes  supérieurs  conviennent  au  cas  de  a > 2 6 , les  signes 
