ÉQUATIONS  ESSENTIELLES  DES  COURBES  PLANES. 
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1.  — 00  (fig.  9).  Lorsque  a est  = oo  , le  cercle  générateur 
b 
devient  une  ligne  droite.  La  courbe  décrite  par  un  point  de  cette 
droite  n’est  ordinairement  pas  rangée  parmi  les  cycloïdales , mais 
simplement  considérée  comme  la  développante  du  cercle.  Nous 
lui  conserverons  ce  nom , auquel  nous  donnerons , toutefois , une 
acception  plus  large,  en  parlant  de  développantes  allongées  et 
développantes  raccourcies  du  cercle^  lorsque  le- point  générateur 
ne  se  trouve  pas  sur  la  ligne  génératrice,  mais  en  dehors,  soit 
au  même  côté  que  le  cercle  directeur,  soit  au  côté  opposé. 
L’équation  trouvée  pour  les  hypocycloïdes  ne  peut  pas  être 
rendue  applicable  à ce  cas.  Nous  reprenons  donc  l’équation 
générale  des  cycloïdales 
_ • {R  — R')r'^ 
^ ÇE  — E')r R E' cos  a' 
et  nous  y faisons  Ez=z  ce  et  R -^b.,  ce  qui  la  transforme  en 
r h cos  a 
Au  lieu  de  l’arc  w,  nous  introduisons  la  longueur  correspon- 
dante l de  la  partie  de  la  droite  génératrice  qui , depuis  l’origine 
du  mouvement,  a été  en  contact  avec  le  cercle  directeur;  et, 
au  lieu  de  la  distance  p du  point  générateur  au  centre  du  cercle 
générateur,  nous  introduisons  la  distance  q du  point  générateur 
au  point  de  contact  qui  correspond  à l’origine  du  mouvement. 
Cette  grandeur  qui  détermine  donc  la  place  du  point  géné- 
rateur, nous  l’appelons  positive  lorsque  ce  point  est  situé,  par 
rapport  au  point  de  contact,  au  même  côté  que  le  cercle  direc- 
teur , négative  lorsqu’il  est  situé  au  côté  opposé.  Dans  la  fig.  8 , 
C représente  le  centre  du  cercle  directeur,  Aq  le  point  de  con- 
tact à l’origine  du  mouvement , et  P le  point  générateur  ; de  sorte 
qu’on  a A^  Anr  /,  AoPrrg',  PA  = r et  L P AC':z=«.  On  trouve 
immédiatement 
= P H-  q"^  et  cos  oc  • 
r 
