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H.  ONNEN.  NOTES  CONCERNANT  LA  THÉORIE  DES 
courbes  cycloïdiques  égales  ou  semblables  lorsqu’on  a a, +a 2 ; 
il  résulte  donc,  de  ce  qui  précède,  que  cette  propriété  reste 
applicable  aux  développantes  du  cercle , lorsque , pour  a j “ 00  ^ 
on  prend  = — oc  . 
2.  = 2 (fig.  11).  L’équation  devient 
b 
3 
2 — 2 cos  u 
^ 2a^-{-p'^  — Sapcosu 
Le  diamètre  du  cercle  des  points  d’inflexion  est  a z=2b^  celui 
du  cercle  des  sommets  est  x ; c’est-à-dire , que  les  sommets 
intermédiaires  se  forment  toujours  sur  la  tangente  commune  au 
cercle  générateur  et  au  cercle  directeur. 
La  formule  (28) , qui  exprime  la  relatioij  entre  p et  l’angle 
U 2 auquel  correspond  un  sommet  intermédiaire,  devient  ici 
d’où 
a — P cosu ^ 
a 
cos  U2  = - • 
P 
Toute  valeur  de  ^ > a donne  donc  une  valeur  réelle  pour  , 
en  d’autres  termes,  toute  hypocycloïde  raccourcie  possède  un 
sommet  intermédiaire  t.  Mais  tous  ces  sommets  intermédiaires 
sont  déjà  formés  lorsque  parce  que , pour  w > i tt  , ^ 
deviendrait  négatif. 
Si  l’on  fait  k — 2 dans  l’équation  (29)  des  hypocycloïdes  ordi- 
naires, elle  se  change  en 
2 J . w 
n ■=:  - b sin  - • 
3 3 
C’est  la  courbe  bien  connue , appelée  cardiolde.  Il  est  à remar- 
quer que  la  droite  des  points  générateurs  a ici  pour  enveloppe 
un  point,  attendu  que  l’hypocycloïde  qui  est  congruente  avec 
cette  enveloppe  doit  avoir,  dans  le  cas  actuel,  un  cercle  géné- 
rateur de  rayon  i a = à , et  que , pour  une  hypocycloïde  ordinaire 
dont  le  cercle  générateur  et  le  cercle  directeur  ont  des  rayons 
égaux , l’équation  devient 
^ = 0. 
