ÉQUATIONS  ESSENTIELLES  DES  COUKBES  PLANES.  59 
De  cette  remarque  découle  la  construction  connue  de  la  car- 
dioïde , consistant  à mener  des  sécantes  par  un  point  quelconque 
de  la  circonférence  du  cercle,  et  à porter  sur  ces  sécantes,  de 
chaque  côté  du  point  où  elles  coupent  la  circonférence  pour  la 
seconde  fois,  le  diamètre  du  cercle. 
Ordinairement  on  regarde  la  cardioïde  comme  une  épicycloïde 
le  cercle  générateur  de  celle-ci  doit  alors  avoir  un  rayon  égal  à 
b — a = b — 2b=z  — 6. 
3.  - = I (\/  3 -{-  1).  Ces  hypocycloïdes  sont  caractérisées  par 
b 
la  propriété , ou  bien  d’avoir  à la  fois  un  point  d’inflexion  et  un 
sommet  intermédiaire,  ou  bien  de  ne  posséder  ni  l’un  ni  l’autre 
de  ces  points  singuliers.  Elles  forment  le  passage  entre  les  figures 
12  et  13.  Pour  = (2  + \/  3)  a naît  la  courbe  dans  laquelle 
le  sommet  initial  se  confond  avec  le  point  d’inflexion,  et,  en 
même  temps,  le  sommet  intermédiaire  avec  le  sommet  terminal. 
Des  épicycloïdes  de  même  forme  sont  produites  par  un  cercle 
générateur  dont  le  rayon  est  a'  = — \^  {\/  ^ — !)• 
4.  - = 1 . Dans  ce  cas , on  a (>  = 0 ; le  cercle  générateur  ne 
b 
peut  pas  rouler  sur  le  cercle  directeur,  chaque  point  reste  en 
place.  Le  cercle  générateur  qui  engendre  des  courbes  cycloïdiques 
égales  ou  semblables  a pour  rayon  a'  — b — otzizO.  Or,  si  nous 
faisons  dans  l’équation  générale  amO,  il  vient  (>— c’est-à- 
dire  que  chaque  point  décrit  un  cercle , sauf  quand  ^ zz:  0 ; cela 
ne  détermine,  de  nouveau,  qu’un  point  unique.  Le  théorème 
des  courbes  cycloïdiques  semblables  s’applique  donc  aussi  au  cas 
actuel , à la  seule  condition  de  regarder  comme  figures  semblables 
les  points  et  les  cercles.  Sous  ces  points  et  ces  cercles,  toute- 
fois , bien  que  ce  soient  en  apparence  les  seules  formes  fournies  par 
le  passage  en  question , se  cachent  de  vraies  formes  cycloïdiques. 
Celles-ci  se  dévoilent  lorsque , au  lieu  de  laisser  décroître  le  rayon 
a'  du  cercle  générateur , on  fait  croître  le  rayon  b du  cercle  direc- 
teur, ce  qui  rapproche  tout  aussi  bien  — de  0 et de  1 . Alors , 
