ÉQUATIONS  ESSENTIELLES  DES  COURBES  PLANES. 
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sur  la  même  ligne  droite^  de  manière  à toucher  celle-ci  toujours 
au  même  points  les  points  générateurs  gui  décrivent  des  cycldides 
ordinaires  sont  toujours  situés  sur  une  droite  passant  par  le  centre 
du  grand  cercle^  droite  gui  alors  est  tangente  à la  plus  petite 
cycldide  ; 
la  plus  petite  cycldide  est  le  lieu  géométrigue  de  tous  les  points 
d’’ inflexion  des  cycldides  allongées  produites  par  le  grand  cercle^ 
et  elle  touche  ces  cycloides  allongées  en  leurs  points  dHnflexion. 
Dans  la  fig.  1 7 sont  tracées  trois  cycloïdes  allongées , qui  tou- 
chent en  leurs  points  d’inflexion  h la  cycloïde  ordinaire  décrite 
par  le  cercle  jB.  C Q est  une  des  positions  de  la  droite  des  points 
générateurs;  elle  touche  la  cycloïde  ordinaire  Aq  hhh^  ainsi  que 
la  cycloïde  allongée  QoQQ-'?  au  point  Q,  lequel  est  en  même 
temps  le  point  d’inflexion  de  cette  dernière  courbe. 
L’équation  du  cercle  T des  sommets  est 
r — ^ a cos  cc  =:  0 , 
ou  2p^  — a^  — ap  cos  = 0 ; 
,,  ^ 2p’^  — a‘^ 
d ou  cosu^zn.-^ , 
ap 
, acosuc,  a \/  cos^  -h  8 
et  pzz  ? — ! — 
^ 4 
Le  cercle  des  sommets  a donc  un  diamètre  égal  à | a , et  est 
situé  au  même  côté  de  la  directrice  que  le  cercle  générateur. 
^2  n’est  réel  que  pour 
1 a <p  < a, 
et 
sera  ^ J n 
suivant  qu’on 
î v/  2. 
Le  point  qui  se 
trouve  à la  distance  ^ a \/  2 de  C forme  donc  un  sommet  inter- 
médiaire après  un  quart  de  révolution. 
U 2 n’a  pas  de  valeur  limite;  dans  chaque  position  du  cercle 
générateur  il  se  produit  donc  un  sommet  intermédiaire,  mais  il 
ne  s’en  produit  qu’un  seul. 
Comme  ^ a <p  ca  est  la  condition  nécessaire  pour  obtenir 
une  cycloïde  possédant  à la  fois  un  point  d’inflexion  et  un  sommet 
intermédiaire,  on  aura  aussi  constamment 
