ÉQUATIONS  ESSENTIELLES  DES  COURBES  PLANES. 
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(p.  9)  il  résulte,  en  effet,  pour  les  hypocycloïdes  allongées, 
W z=zv  a ^ 
pour  les  cycloïdes  raccourcies, 
w "=1  V a — 7T  ; 
attendu  que  pour  les  premières  on  a «q  = 0 , et  pour  les  secondes 
«Q=7r.  En  général,  on  a donc 
db  sin  w = sin  v , cos  a cos  v . sin  a. 
Mais 
et 
a — P cos  U 
cos  cc  ■=  — — 
a — P cos  U 
^ — 2 a JP  cos  U 
P sin  U P sin  u 
sm  oc  =:  — — . - . . . . 
^ — 2apcosu 
Ces  valeurs  étant  substituées  dans  le  développement  de  + sin  w 
on  obtient  après  réduction , 
{p  -h  a)  sin  U 
sinw  = 
d’où 
sin^ 
\J  {p — aY-\-4^ap  sin 
{p  — ay  sin"^  w 
2 1 
U 
{p  4-  aY  — 4:apsin^w 
Il  ne  reste  plus  qu’à  introduire  cette  valeur  dans  la  formule  de 
ç,  après  y avoir  remplacé  cosu  pari — 2sin^  J- w ; on  trouve  ainsi 
{p  4-  aY  {p  — aY 
Q 4~ 3 ^ 
\/  {p-\-a)‘^  cos‘^  w-\-{p — aYsin‘^  w 
où  le  signe  supérieur  doit  être  employé  pour  les  hypocycloïdes 
raccourcies,  le  signe  inférieur  pour  les  hypocycloïdes  allongées. 
Cette  équation  doit  être  Féquation  essentielle  de  l’ellipse,  car 
on  sait  que  toutes  les  hypocycloïdes  engendrées  par  un  cercle 
dont  le  rayon  est  la  moitié  de  celui  du  cercle  directeur,  sont 
des  ellipses. 
Pour  vérifier  cette  conclusion , nous  déduirons  l’équation  essen- 
tielle de  l’ellipse  de  son  équation  en  coordonnées  rectangulaires, 
l’origine  de  celles-ci  étant  placée  à l’un  des  sommets.  Cette  équa- 
tion est 
y=. 
m 
