68  H.  ONNEN.  NOTES  CONCERNANT  LA  THÉORIE  DES 
les  limites  indiquées  ci-dessus.  Le  premier  est  devenu  égal  au 
diamètre  du  cercle  directeur,  sans  que  la  poire  des  points  d’in- 
flexion ait  subi  pour  cela  un  changement  de  forme  bien  marqué. 
Quant  au  cercle  des  sommets,  il  se  change  en  ligne  droite,  et 
par  suite  la  poire  des  sommets  intermédiaires  reste  ouverte.  Il 
y a , en  effet , à mesure  que  le  cercle  générateur  se  rétrécit , un 
plus  grand  nombre  de  points  qui  sont  mis  en  état  de  former  un 
sommet  intermédiaire,  et,  à la  limite  actuelle,  cette  propriété 
est  acquise  à tous  les  points  qui  engendrent  des  cardioïdes  rac- 
courcies. La  poire  des  sommets  intermédiaires  devient  en  consé- 
quence une  courbe  qui  se  rapproche  asymptotiquement  de  la 
direction  de  la  tangente  commune  à l’origine  du  mouvement  ; car 
la  valeur  limite  de  l’angle  de  révolution  u , pour  laquelle  se  forme 
le  dernier  sommet  intermédiaire,  est  90°;  et  lorsque  le  cercle 
générateur^  a effectué  le  quart  d’une  révolution , la  tangente  com- 
mune est  parallèle  à sa  direction  primitive  et,  en  même  temps, 
à la  droite  des  points  générateurs. 
Toutes  les  cardioïdes  raccourcies  ont  donc  un  sommet  initial^ 
un  sommet  intermédiaire  et  un  sommet  terminal. 
4.  2 > Hypocydoïdes  extérieures.,  à cercle  des  som- 
mets situé  en  dedans.  Figures  12  et  13.  La  poire  des  som- 
mets intermédiaires  se  courbe  maintenant  en  dessous , ce  qui  a 
pour  conséquence  que  dans  l’hypocycloïde  Q Qtt  le  sommet 
intermédiaire,  au  lieu  de  se  réunir  avec  le  sommet  initial  Qq  , 
se  èonfond  en  un  sommet  minimum  avec  le  sommet  terminal 
Q^.  Les  hypocydoïdes  raccourcies , qui  n’ont  ni  point  d’inflexion 
ni  sommet  intermédiaire,  conservent  donc  un  sommet  maximum 
f 
pour  sommet  initial,  et  acquièrent  un  sommet  minimum  pour 
sommet  terminal,  en  opposition  avec  les  figures  9 et  10,  où 
c’était  justement  le  contraire. 
Pendant  que  le  rayon  du  cercle  générateur  se  rapproche  de 
celui  du  cercle  directeur , le  cercle  des  sommets  se  resserre , bien 
que  son  diamètre  reste  toujours  plus  grand  que  trois  fois  le 
rayon  du  cercle  générateur.  La  poire  des  sommets  intermédiaires 
