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H.  ONNEN.  NOTES  CONCERNANT  LA  THÉORIE  DES 
points  d’inflexion  et  le  cercle  des  sommets  sont 
plus  petits  que  le  cercle  générateur.  Figure  15a.  Ces 
hypocycloïdes  fournissent  les  mêmes  formes  que  les  hypocycloïdes 
intérieures  dont  les  cercles  des  points  d’inflexion  et  le  cercle  des 
sommets  sont  plus  grands  que  le  cercle  générateur  6,  car, 
pendant  que  a décroît  de  à 0 , h — a croît  de  | 6 à 6. 
Représentons-nous  maintenant  que,  sur  le  même  cercle  direc- 
teur K'  (fig.  15a  et  6),  roulent  deux  cercles  générateurs  dont 
les  rayons  sont  a a'  z=z  h — a;  nous  savons  qu’alors  deux 
points  générateurs , pour  engendrer  des  courbes  semblables , comme 
le  font  les  points  Pq  , Qq  , Rq  dans  les  deux  figures,  doivent 
satisfaire  à la  condition 
P p'  z=z  a a'  ^ 
P et  p'  étant  les  distances  des  points  générateurs  aux  centres 
des  cercles  générateurs  respectifs.  Ainsi , pendant  que  p , 
partant  de  0 et  passant  par  les  valeurs  a , , — — , 
2h — a h — a 
croît  jusqu’à  oo , p'  décroît  de  oo  à 0 , en  passant  par  a' , 
g (g  + h)  ^ ^ — JJ  résulte  de  là  que , à partir  du  moment  où 
2 6 — a'  h — a' 
le  rayon  du  cercle  générateur  est  devenu  plus  petit  que  la  moitié 
du  rayon  du  cercle  directeur , il  n’y  a plus  que  les  hypocycloïdes 
allongées  qui  puissent  avoir  des  points  d’inflexion  et  des  sommets 
intermédiaires,  tandis  que,  jusqu’ici,  ces  points  singuliers  ne 
pouvaient  se  présenter  que  dans  les  hypocycloïdes  raccourcies. 
C’est  une  suite  de  la  circonstance  que  le  cercle  des  points  d’in- 
flexion et  celui  des  sommets  ont  pénétré  à l’intérieur  du 
cercle  directeur.  Le  diamètre  de  chacun  de  ces  deux  cercles  se 
rapproche  de  0 , et  les  poires  des  points  d’inflexion  et  des  som- 
mets se  resserrent  de  plus  en  plus.  A cet  égard  il  faut  remar- 
quer, toutefois,  qu’après  le  passage  a \ h le  diamètre  du  cercle 
des  points  d’inflexion  est  plus  petit  que  celui  du  cercle  des 
sommets;  de  sorte  que,  dans  la  fig.  15a,  la  poire  des  points 
d’inflexion  tombe  de  nouveau  en  dehors  de  celle  des  sommets 
